9.4三角形式下复数的乘除、乘方、开方运算（第2课时）高一数学（沪教版2020必修第二册）.pptx

高一数学（沪教版2020必修第二册）第9章复数9.4三角形式下复数的乘除、乘方、开方运算（第2课时）

学习目标1.了解复数乘、除运算的三角表示（重点）2.了解复数乘、除运算及乘方、开方的几何意义3.会利用复数三角形式进行复数乘、除及乘方、开方运算（重点、难点）

复数的两种形式代数形式三角形式实部虚部辐角辐角主值复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行互化.复习引入

复数的代数形式的乘除运算法则两角和（差）的正弦、余弦公式（1）（2）复习引入

现在我们讨论三角形式下的复数乘除运算公式．设有两个用三角形式表示的复数z1＝r（cosα＋isinα）与z２＝s（cosβ＋isinβ），其中r＝｜z１｜≥０，s＝｜z２｜≥０，则1.三角形式下复数的乘除运算也就是说，两个复数相乘，其积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和；两个复数相除（除数不为零），其商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差．?新知探究

证明乘积的公式的推导是两角和的正弦、余弦公式的直接应用：乘积公式得证．???再把等式两边同除以z２，就得到所求的除法公式．

???例３计算，并用复数的代数形式表示计算结果：课本例题?

计算：巩固练习1——复数三角形式的乘法?????两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角，若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后再进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示.

易错题???????巩固练习2——计算时未化为标准三角形式

易错题??????巩固练习2——计算时未化为标准三角形式

计算：——复数三角形式的除法??两个三角形式的复数相除，则商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.若出现复数的代数形式，先转化为复数的三角形式，再计算?????巩固练习3

我们现在来分析复数乘法的几何意义．??

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???课本例题

巩固练习4——复数乘法、除法的几何意义???????

易错题????????????????????巩固练习4——计算时未化为标准三角形式

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?2三角形式下复数的乘方与开方复数的n次幂（n是正整数）是n个相同复数的连乘，因此，根据复数乘法公式，一个复数的n次幂的模是底数模的n次幂，而其辐角是底数辐角的n倍．作为乘方的逆运算，自然会想到，一个复数开n次方，方根的模是被开方数模的n次方根，而方根的辐角是被开方数辐角的n分之一．这个规则原则上没错，但要注意的是：由于被开方数不同辐角的n分之一所得出的辐角可能有不同的主值，在这个过程中被开方数的辐角不能只取主值．事实上，如果α是被开方数的辐角之一，以下n个值都可以作为被开方数n次方根的辐角：

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例６求１的三次方根．????课本例题

１．计算：２．求１的所有四次方根．??课本练习

??D随堂检测?

2.复数(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)的三角形式是(____)A.sin30°+icos30°B.cos160°+isin160°C.cos30°+isin30°D.sin160°+icos160°【解析】解：(sin10°+icos10°)(sin10°+icos10°)=sin210°-cos210°+2sin10°cos10°i=-cos20°+sin20°i=cos160°+isin160°．故选：B．B

3.已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x=(a,b)，对应复数z=a+bi,向量x逆时针旋转一个角度θ，得到复数z=(a+bi)(cosθ+isinθ)=acosθ-bsinθ+i(asinθ+bcosθ)，于是对应向量x=(acosθ-bsinθ，asinθ+bcosθ)．这就是向量的旋转公式．已知正三角形ABC的两个顶点坐标是A(1，4)，B(3，2)，根据此公式，求得点C的坐标是．(任写一个即可)??

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=(acosθ+bsinθ)+(bcosθ-asinθ)i.??

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??易知，关于x的方程x2024-1=0的根为1，z,z2…，z2023，故x2024-1=(x-1)(x-z)(x-z2)?(x-z2023)，又x2024-1=(x-1)(1+x+x2+x2023)，故(x-z)(x-z2)?(x-z2023)=1+x+?+x2023，令x=1，可得(1-z)(1-z2)?(1-z2023)=1+1+?+12023