数值计算课件数值分析第5章 性代数计算方法教案.pptVIP

第5章 线性方程组的解法;§1 高斯消去法;这时方程组(5―1)实际为;如此再解出xn-2,…,x2,x1,一般有;以上讨论告诉我们,对具有上三角形系数矩阵的方程组(5―4)求解极为方便。当然,若方程组(5―1)的系数矩阵为下三角形,则求解也很方便。于是对于一般形式的方程组(5―1),我们总设法把它化为系数矩阵呈上(或下)三角形的方程组来求解。为了达到目的,可利用消去法进行。现举例如下:

解方程组;作②-①消去②中的x1,作③-①×4消去③中的x1,则方程组(5―6)化为;从方程组(5―6“)的方程③解出x3,将所得的结果代入方程②求出x2,再把x3.x2同时代入方程①解出x1。这样可求出方程组的解为;在计算机上实现时,我们常把方程组右端的常数项排于系数矩阵的第n+1列,这样顺序高斯消去法的计算步骤为:;2.回代过程

对于k=n,n-1,…,2,1,计算;1.2 主元素消去法

前述顺序消去法是按序通过用;②-①×105得

(1.000-1.000×105)x2=1.000-6.000×104

化简可得

x2=0.6000

回代求得

x1=105(0.6-0.6000)=0

而方程组的解应为

x1=04000x2=06000;显然用上述方法求出的解x1与方程组的实际解相差很大。若改变两个方程的顺序,即;高斯主元素消去法是顺序消去法的一种改进。它的基本思想是在逐次消元时总是选绝对值最大的元素(称之为主元)做除数,按顺序消去法的步骤消元。

这里主要介绍求解线性方程组最常用的列主元素消去法和全主元素消去法。

1.列主元素消去法

所谓列主元素消去法就是在每一步消元过程中取系数子矩阵的第一列元素中绝对值最大者作主元。对线性方程组(5―1)进行n-1次消元后,可得到上三角形方程组;必须指出的是方程组(5―13)中的系数aij(i≤j)和右端的bi已经改变了,并非与原来相同。这样就可对方程组(5―13)回代

求解。

例1用列主元素消去法解方程组;取四位有效数字计算。

解②中-18为主元,交换②和①得;②+①×12/18,③+①×1/18得;③+②×1/1167得;在计算机上求解时,前面已经讲过,常把右端常数项b作为系数矩阵A的第n+1列,从而得到增广矩阵(A,b),仍记为A,于是,

列主元素消去法的计算过程为:

(1)消元过程。对于k=1(5,―21,4)…,n-1进行下述运算:

①选主元,确定r,使得

若ark=0,说明系数矩阵为奇异,则停;aij-aik·akj/akk aij

(5―15)

(2)回代过程。对于k=n,n-1(,5―…16,)1计算;2.全主元素消去法;这里方程组(5―17)中的系数aij(i≤j)及bi一般改变了。特别是未知数的排列顺序,由于全主元素的消元过程中,其系数矩阵可能进行了列对调,那么未知数也相应

地作了对调。例如,若矩阵第i列与第j列对调,则未知数xi与xj也相应地对调了,xi的结果实质上为xj的结果。;图5.1;图5.1;例2用全主元素消去法求解方程组;再全选主元,主元为2.333,交换x2和x3所在的两列,同时改变两未知数的排列;已经化为三角方程组,回代求解x1=1000,x2=3000,x3=2000

这里未知数x2与x3已对调,所以应恢复解的顺序,方程组的实际精确解为

x1=1000,x2=2000,x3=3000

在计算机上求解时,我们仍把增广矩阵(A,b)记为A,具体计算过程为

(1)消元过程。对k=1,2,…,n-1进行下列运算:;图5.2;图5.2;①选主元,确定r,t使得;§2 高斯―约当消去法;此时求解就不要回代了。这种无回代过程的主元素消去法称为高斯―约当(Jordan)消去法。特别是方程组(5―21)还可化为;显然等号右端即为方程组的解。;显见经n步消元后即得方程组的解。其具体计算步骤为:

对k=1,2,…,n;③对i=1,2,…,n(i≠k),j=k+1,k+2,…,n+1计

算

aij-aikakj aij

(5―24)

④计算

xk=akn+1

还得指出,若用到全选主元,最后应注意恢复解的顺序。;§3解实三对角线性方程组的追

赶法;(5―25);其中;因为;所以方程式(5―26)右端的k-1阶行列式满足假设的条件,由此可得Δk≠0,即矩阵A的各阶主子式都不等于0。;将式(5―28)代入(5―25)式的第二个方程解出x2;再将(5―29)式代入(5―25)式的第三个方程解出x3,一般有

xk=uk-vkxk+1,k=1,2,…,n-1;当k=n时,因为

bnxn-1+anxn=rn;例3解线性方程组;v3=0(一般v3不必算)

再由式(5―32)、(5―30)求得方程组的解;图5.3;图5.3;§4 矩阵的