北京市汇文中学高二下学期期中考试数学试卷（含简单答案）.docxVIP

2024-2025学年

北京市汇文中学2023-2024学年高二下学期期中考试

数学

本试卷共6页，试卷分值为150分.考试时长为120分钟.请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.

1集合，，则（）

A. B. C. D.

2.如图，曲线在点处的切线l过点，且，则的值为（）

A. B.1 C.2 D.3

3.下列函数中，的最小值是2的是（）

A B.

C. D.

4.已知，，，则（）

A. B. C. D.

5.已知函数，则（）

A.是奇函数，且在上是增函数

B.是奇函数，且在上是减函数

C.是偶函数，且在上是增函数

D.是偶函数，且在上是减函数

6.7张卡片上分别写有数字1234567从中随机取出2张，记事件A＝“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B＝“所取2张卡片上的数字之和小于8”，则＝（）

A. B. C. D.

7.小明家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为.已知邻居记得浇水的概率为，忘记浇水的概率为，那么李老师回来后发现花还存活的概率为（）

A. B. C. D.

8.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（）

A. B. C. D.

9.已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

10.设函数的定义域为，如果，，使得成立，则称函数为“函数”.给出下列四个函数：①；②；③；④，则其中“函数”共有（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分.

11.函数的定义域是____________．

12.已知函数则________；的值域为_______．

13.若函数存在极值点，则实数a的取值范围为________．

14.甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无平局），乙每局比赛获胜的概率都为，则最后甲获胜的概率是______________．

15.如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________.

16.已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：

①对于任意，函数存最小值；

②对于任意，函数是上的减函数；

③存在，使得对于任意的，都有成立；

④存在，使得函数有两个零点.

其中正确命题的序号是______.

三、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知函数

（1）求函数在上的最大值和最小值；

（2）求证：当时，函数的图象在的下方．

18.某学校食堂为了解师生对某种新推出菜品的满意度，从品尝过该菜品的学生和老师中分别随机调查了20人，得到师生对该菜品的满意度评分如下：

教师：6063656769757777797982838687899293969696

学生：4749525455576365666674747577808283849596

根据师生对该菜品满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分

低于70分

70分到89分

不低于90分

满意度等级

不满意

满意

非常满意

假设教师和学生对该菜品的评价结果相互独立，根据所给数据，用事件发生的频率估计相应事件发生的概率．

（1）设数据中教师和学生评分的平均值分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（结论不要求证明）；

（2）从全校教师中随机抽取3人，设X为3人中对该菜品非常满意的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；

（3）求教师的满意度等级高于学生的满意度等级的概率．

19.网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下：

A组：8，9，11，13，15，17，18，