小学奥数专题 排列组合初步.docx

学科培优数学

“排列组合初步”

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知识定位

理解加乘原理的根本,分辨何时使用加法原理、何时使用乘法原理

知识梳理

一、乘法原理：

我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.

乘法原理：一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”.

二、加法原理：

无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.

加法原理：一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.

加乘原理的区别：

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关。”

例题精讲

【试题来源】

【题目】用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数,将它们从小到大排列,那么7254是第多少个数？

【答案】7254

【解析】由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个,从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始,易知第19个是7245,第20个7254。

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】用0、1、2、3、4这5个数字,组成各位数字互不相同的四位数,例如1023、2341等,求全体这样的四位数之和。

【答案】259980

【解析】这样的四位数共有×=96个

1、2、3、4在首位各有96÷4=24次,和为（1＋2＋3＋4）×1000×24=240000；

1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次,和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000；

1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次,和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800；

1、2、3、4在个位各有24÷4×3=18次,和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；

总和为240000＋18000＋1800＋180=259980

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择？

【答案】47

【解析】因为强调2本书来自不同的学科,所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=47

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】有5个标签分别对应着5个药瓶,恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种？

【答案】20

【解析】第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴,共有=10,第二步对这3个瓶子进行错贴,共有2种错贴方法,所以可能情况共有10×2=20种。

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目要排在一起,有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目,一共有多少种不同的安排顺序？

【答案】604800

【解析】⑴4个舞蹈节目要排在一起,好比把4个舞蹈?在一起看成一个节目,这样和6个演唱共有7个节目,全排列7！,加上4个舞蹈本身也有全排4！,所以共有7！×4！=120960种。

⑵4个舞蹈必须放在6个演唱之间,6个演唱包括头尾共有7个空档,7个空档取出4个放舞蹈共有,加上6个演唱的全排6！,共有×6！=604800种。?

【知识点】排列组合初步

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工3人