高等数学一版自考课程代码00020三章导数与微分.pdfVIP

2019/2/28

第三章导数与微分

第01讲函数在一点处的导数定义

3.1导数与微分的概念

前面已经学习了函数在一点处的两个性质：极限与连续，它们刻画的只是函数f（x）在一点附近随着自

变量的变化而变化的定性性质，但函数值的变化与自变量的变化之间的量的关系，导数与微分恰恰

是反映它们之间的量的关系的两个概念.

例1.曲线在一点处的切线.

图3-1

如图3-1，设

如图3-1，设是曲线y=f（x）上的两点，直线是曲线y=f（x）上的两点，直线是过A,B两点的直线，

当点B沿曲线y=f（x）趋向于点A时，若直线趋向于直线L，则称L为曲线y=f（x）在点A处的切线，直

当点B沿曲线y=f（x）趋向于点A时，若直线

线的斜率的极限就是切线L的斜率.

[讲义编号NODE01：针对本讲义提问]

例2.变速物体的瞬时速度.

设物体走过的距离S与行走时间t之间的关系为S=S（t）,则该物体从t0时刻到t时刻之间的平均

速度是极限就是此物体在t0时刻的瞬时速度.

[讲义编号NODE02：针对本讲义提问]

3.1.1导数的概念

1.函数在一点处的导数定义

定义3.1设函数y=f（x）在x及其附近有定义，如果极限v存在，则称函数f（x）在处可导，极

0

限的值称为函数f（x）在x处的导数，记作等.

0

记，导数定义可表述为：

若极限存在，则称函数f（x）在x=x处可导，极限的值称为函数f（x）在x=x处的导数.

00

由于表示的是函数f（x）在上自变量改变1个单

位时，函数值平均改变了几个单位，所以其值称为f（x）在上

的平均变化率.极限值也就是导数值f’（x）,称为函数f（x）在x处的瞬时变化率，|f’（x）|

0

的大小反映了f（x）在x处函数值随着自变量变化而变化的快慢，f’（x）的正、负号反映的是函数值随着

0

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自变量的增加是增加还是减少.

由定义求导数的步骤：

（1）求增量

（2）算比值

（3）求极限

[讲义编号NODE03：针对本讲义提问]

例3.用定义求常数函数f（x）=C在任一点处的导数.

解：设