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第一章作业

问题叙述：分别以单精度和双精度数据类型用以下近似算法分别计算π的近似值

1111

π=41−+−+−⋯

3579

π=60.5+0.5+3×0.5+3×5×0.5+⋯

2×32×4×52×4×6×7

(1)要求结果具有4位有效数字；

(2)如果采用单精度数据类型要求计算结果达到机器精度，此时结果如何？采用双精度数据

类型达到单精度机器精度要求以及更高的精度要求，计算结果如何？（测试机器精度：满足

1+ε1的最小浮点数）

问题重述：

根据题意，可将本题分为以下5个小问题：

问题1：用两种近似算法分别计算π的近似值，要求结果具有4位有效数字。

问题2：求解单精度数据类型与双精度数据类型的机器精度。

问题3：用两种近似算法分别计算π的近似值，采用单精度数据类型要求计算结果达到单精

度的机器精度。

问题4：用两种近似算法分别计算π的近似值，采用双精度数据类型达到单精度机器精度要

求。

问题5：用两种近似算法分别计算π的近似值，采用双精度数据类型达到的最高要求。

一、问题1：满足四位有效数字的估计值

1.问题分析

1）可以使用MATLAB中自带的pi常数作为π的精确值，以此作为真值，进而求得每项近似

值的真误差，迭代结果误差以及；

2）各类误差的定义式：

∗

真误差：真值-近似值=x−;

当前近似值前一近似值

迭代结果误差：=×100%;

当前近似值

=0.5×10%;

3）本题中，x=0.31415…×10，则k=1。所以为达到四位有效数字，则应有n=4，即可以

||

在每加入一个新项后，计算真误差和迭代结果误差，直到（必须符合4位有

效数字的要求），由此可得=5×10.

4）由于此问题的精度要求较低，运用题目所给的两个近似算法，采用单精度的数据类型（单

精度浮点数的有效数字一般有7~8位）就能得出符合要求的结果，且可以忽略舍入误差的

影响。

5）程序流程图如下：

开始

根据误差准则求

求当前输出的近似误差

迭代计算

否

||

近似误差?

是

输出满足要求的近似值

结束

2）算法B

源程序：

3.结果分析

1）精度对比

使用formatlong显示两种方法的运行结果，并与pi真值进行比较如下：

对比发现，算法A和算法B结果的前4与真值pi相同，为3.141，因此两种算法的

输出结果均满足四位有效数字的要求；

2）运算效率对比

以本题要求的n=4为例，算法A需要迭代到第12733项才能达到3.1417的结果，而算

法B只需要迭代到第6项就能达到3.1416的结果，由此可见算法B的效率远远高于算法A。

为了进一步证明，这里改变有效位数n，记录