4.2-一阶逻辑公式及解释.pptVIP

一、一阶语言;一阶语言的字母表定义如下:;?定义4.2的项的定义如下:;例4.5中的1元谓词F(x)，G(x)，2元谓词H(x,y)，

L(x,y)等都是原子公式．

;定义4.4的合式公式定义如下:;在定义4.4中出现的字母A,B是代表任意公式的

元语言符号.为方便起见,公式(┐A),(A∧B),…中

的最外层括号可以省去，使其变成┐A,A∧B，….

(4.1)～(4.21)都是中的公式.;下面讨论一阶公式的一些性质.;例4.6指出下列各公式中的指导变元，各量词

的辖域，自由出现以及约束出现的个体变项:;(2)公式中含有两个量词，前件上的量词的指导变元为x，的辖域

A=(F(x)→G(y))，

其中x是约束出现的，y是自由出现的.;后件中的量词的指导变元为y，的辖域为

(H(x)∧L(x,y,z))，

其中y是约束出现的，x,z均为自由出现的.;则Δx1A(x1,x2,…,xn)是含有x2,x3,…,xn自由出现的

公式，可记为A1(x2,…,xn).;可将例4.6(1)中的公式

简记为A(y,z)，这表明该公式含有自由出现的个

体变项y，z.

而yA(y,z)中只含有z为自由出现的公式，

zyA(y,z)中已经没有自由出现的个体变项了，

此时的公式为

??zyx(F(x,y)→G(x,y,z))???????(4.24);设A是任意的公式,若A中不含有自由出现

的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.;四、一阶公式的解释;(1)x(F(x)→G(x))??????????(4.25)

(2)xy(F(x)∧F(y)∧G(x,y)→H(f(x,y),g(x,y))(4.26);(1)指定个体变项的变化范围，并且指定谓词F，G的含义，下面给出两种指定法:;(2)(4.26)中含有两个2元函数变项，两个1元谓词

变项，两个2元谓词变项.

指定个体域为全总个体域,F(x)为x是实数,G(x,y)

为x≠y，H(x,y)为xy，f(x,y)=x2+y2,g(x,y)=2xy，;在例4.7中所谈的对各种变项的指定也可以称为

对它们的解释.;定义4.7;2.被解释的公式A中的个体变项均取值于D1.?;一旦公式中出现f1(x,y)就解释成

出现g1(x,y)就解释成;(a)个体域D=N(N为自然数集合)

;(4)xF(g(x,y),z

(5)xF(g(x,a),x)→F(x,y)

(6)xF(g(x,a),x)

(7)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))

(8)xyzF(f(x,y),z)

(9)xF(f(x,x),g(x,x));(1)在I下，(1)中公式被解释成“x+y=xy”，

这不是命题.

(2)公式被解释成“(x+0=y)→(xy=z)”，

这也不是命题.

(3)公式被解释成“x·y≠yz”.不是命题.

(4)公式被解释成“x(xz≠yz)”.不是命题.

(5)公式被解释成“x(x·0=x)→(x=y)”.

由于蕴涵式的前件为假，所以被解释的公式为真.;(6)公式被解释成“x(x·0=x)”.假命题.

??(7)公式被解释成“xy((x+0=y)→(y+0=x))”.

真命题.

????(8)公式被解释成“xyz(x+y=z)”.真命题.

?(9)公式被解释成“x(x+x=x·x)