二章差分格式介绍.pptxVIP

第二章差分格式介绍

α是与速度对应的量，α为正，看作风沿正方向吹 α为负，看作风沿负方向吹迎着风向往上游作差分的格式，称为迎风格式。迎风格式

想找一种不受风向影响的稳定格式FTCS格式，完全不稳定Lax格式Lax格式

正形格式的一般形式是正型格式

Lax格式可利用特征线插值的方法得到PQSDR

对于双曲型偏微分方程，只有当差分方程的依赖区间包含微分方程的依赖区间时，才可能是稳定的。这是双曲型方程差分格式稳定的必要条件，常称为Courant-Friedrichs-Lewy条件，简称为CFL条件。CFL条件用插值的方法构造差分方程必须采用内插法。

判断Lax格式的相容性。

n+1nn+2n+1nn+2n+1nn+2ii+1i-1

nn-1n+1ii+1i-1CTCS中心跳步蛙跳二阶精度格式

令

如果放大矩阵的所有特征值则格式稳定如果为稳定条件对流方程的蛙跳格式是稳定的，并且具有二阶精度。而对于热传导方程和对流-扩散方程的蛙跳格式，虽具有二阶精度，但完全不稳定。

完全不稳定Richardson格式

DuFort-Frankel蛙跳格式条件相容完全稳定二阶精度显示3层DuFort-Frankel蛙跳格式

可以用插值的方法构造。Lax-Wendroff格式（Leith）格式PQSDR

相容条件稳定二阶精度显示2层也可以用Taylor展开的方法推导。

nn-1n+1ii+1i-1初始条件边界条件定解条件的处理解决办法局部一侧差分另局部导数为零（1阶，2阶）

OL例题（直管气流波动）微分方程及初、边值条件

显示格式往往是条件稳定,甚至是不稳定.对流方程(FTCS)完全不稳定.热传导方程(FTCS)方程稳定条件隐式格式隐式格式常常无条件稳定的

n+1nn+2BTCS格式完全稳定

对于热传导方程完全稳定BTCS格式

隐式格式与显示格式的计算工作量比较隐式格式可以取的大些，但是要求解联立方程。以热传导方程的FTCS格式与隐式格式的计算量比较：每求一层，隐式的运算量大约是显示的两倍，即当步长相同时隐式计算量比显示多一倍。

隐式格式的另一个特点，即对信号以无限大的速度传播。这一性质对扩散项是很合适的，但对对流项来说并不合适。所以隐式格式多用于扩散方程。对于兼有对流、扩散的方程，有时只对扩散项用隐式格式，而对对流项则用显示格式。

FTCS显示格式为BTCS隐式格式为取两式的线形组合：热传导方程的两层六点隐式格式上述格式的精度最高，称为二层六点对称格式，或Crank-Nicolson格式。完全稳定。

两步Lax-Wendroff格式第一步：Lax格式第二步：蛙跳格式n+1nn+2多步显式格式

MacCormack格式：第一步：FTFS格式第二步：FTBS格式n+1nn+2

空间中心差分的两步格式：第一步：FTCS格式第二步：BTCS格式n+1nn+2

二维对流扩散方程差分方程化为多维流动的差分格式

二维的稳定性要求严格的多

要改善稳定性，又要减少计算量，常用的有两类方法，一是时间分裂法一是交替方向法

将一个时间步长分成两个时间半步长，在第一个时间半步长中只考虑y方向的流动，在第二个时间半步长中只考虑x方向的流动。时间分裂法

在相同的时间层中对两个方向交替采用隐式格式和显示格式，即在某一时间层对某方向用隐式格式，对另一方向用显式格式；在下一时间则反过来。交替方向法