第01讲 平面向量的概念（春季讲义）（解析版）_1.docx

第01讲平面向量的概念

【人教A版2019】

·模块一向量的概念

·模块二相等向量与共线向量

·模块三课后作业

模块一

模块一

向量的概念

1．向量的概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．

注：

①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．

②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．

③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．

2．向量的表示法

(1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．

(2)向量的表示方法:

①字母表示法：如等.

(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用

一条有向线段表示向量，通常我们就说向量.

3．向量的有关概念

(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).

(2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

【考点1平面向量的概念与表示】

【例1.1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（????）

A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离

【解题思路】根据向量与数量的意义直接判断即可.

【解答过程】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.

故选：B.

【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（???）

（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；

（2）零向量没有方向；

（3）向量的模一定是正数；

（4）非零向量的单位向量是唯一的．

A．0 B．1 C．2 D．3

【解题思路】根据零向量与单位向量，向量的定义对各个项逐个判断即可求解．

【解答过程】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，

对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，

对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，

对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，

故选：A．

【变式1.1】（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（????）

A．身高是一个向量

B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量

C．有向线段由方向和长度两个要素确定

D．有向线段MN→和有向线段

【解题思路】根据向量的定义及性质判断各项的正误即可.

【解答过程】A：由向量即有大小（模长）又有方向的量，显然身高不是向量，故A错；

B：温度有零上温度和零下温度，显然温度可以比较大小，但无方向，故B错；

C：有向线段有起点、方向、长度三要素确定，故C错；

D：有向线段MN→和有向线段NM→的长度相等，故D

故选：D.

【变式1.2】（2023下·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（????）

??

A．AB B．AB C．AB D．AB

【解题思路】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量.

【解答过程】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.

故选：C.

【考点2向量的几何表示与向量的模】

【例2.1】（2023下·安徽淮北·高一校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．

??

(1)OA=3，点A在点O

(2)OB=32，点B在点O的北偏西

(3)求出AB的值．

【解题思路】（1）根据向量的大小和方向，作向量OA，

（2）根据向量的大小和方向，作向量OB，

（3）根据向量的模的定义求AB.

【解答过程】（1）因为OA=3，点A在点O的正西方向，故向量OA

??

（2）因为OB=32，点B在点O的北偏西45°

??

（3）??

AB=

【例2.2】（2023·高一课前预习）在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标

（1）a=2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°

（2）a=4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°

（3）a=42，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是

【解题思路】利用向量的定义直接求解即可60

【解答过程】如图所示.

（1）终点坐标为1,3

（2）终点坐标为23

（3）终点坐标为-4,-4

【变式2.1】（2023·全国·高一随堂练习）在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：

（1）|OA|=4,点A在点

（2）|OB|=22,点B在点O

（3）|OC|=2,点C在