5.3.2.1函数的极值（教学课件）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptxVIP

复习引入

1.函数单调性与导数的关系

在某个区间(a,b)内，

f(x)0→f(x)在(a,b)内单调递增

f(x)0→f(x)在(a,b)内单调递减

f(x)在(a,b)内单调递增→f(x)≥0f(x)在(a,b)内单调递减→f(x)≤0

探究

(图一)(图二)

一般地，设函数y=fx)在x₀及其附近有定义，如果fx₀)的值比x₀附近其他点的函数值都大，我们说Ax₀)是函数y=fx)的一个极大值；并把x₀称为函数fx)的一个极大值点.

问题(1)函数)=H)在点ac的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系?

(3)在点a,c附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律?

对于可导函数fx),若x₀满足f(x₀)=0,在x₀附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么x₀是函数fx)的一个极大值点，fx₀)是函数fx)的一个极大值；

问题：(2)函数y=fx)在点a,c的导数值是多少?

↑y

f(x,)=0

f(x)0f(x)0

aXob

(图三)

0

(图一)

x

问题：(图一)

(4)函数y=fx)在点b,d的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系?

(5)函数y=f(x)在点b,d的导数值是多少?

(6)在点b,c附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律?

函数的极值：概念生成

一般地，设函数y=fx)在x₀及其附近有定义，

如果fx₀)的值比x₀附近其他点的函数值都小，我们说x₀是函数fx)的一个极小值点，fx₀)是函数y=fx)的一个极小值.

对于可导函数y=f(x),若x₀满足f(x₀)=0,在x₀附近的左侧f

(x)0,右侧f(x)0,那么x₀是函数fx)的极小值点，fx₀)是函数fx)的极极《值值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是对应的函数值。

(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是

最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值；

(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；

(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；

(5)单调函数一定没有极值.

2.对极值概念的再理解

3.y=f(x)的极值点x。与f(x₀)=0的关系

一般来说，“f(x₀)=0”是“函数y=f(x)在点x=x₀处取得极值”的必要不充分条

件.

若可导函数y=f(x)在点x=x₀处可导，且在点x=x₀处取得极值，则f(x₀)=0;反之，若f(x₀)=0,则x₀不一定是函数y=f(x)的极值点.可导函数f(x)的极值点x₀一定

是导函数f(x)的变号零点.

概念辨析《

判断(正确的打“√”,错误的打“×”).

(1)极大值就是函数的最大值；(×)

(2)函数的极大值比极小值大；(×)

(3)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；(√)

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；

()

(5)若函数Ax)在(a,b)内有极值，则Ax)在(a,b)内一定不单

调.(

(6)导数值为0的点一定是函数的极值点·×)

提示：不一定，如f(x)=x³,f(0)=0,但f(x)=3x²≥0,因此0不是f(x)

=x³的极值点.

典型例题

一、函数图像与极值的关系

例1(1)(多选)如图是函数y=f(x)的图象，则(BC)

A.在x=—2时，函数y=f(x)取得极值

B.在x=1时，函数y=f(x)取得极值

C.y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零D,函数y=f(x)在区间(一2,2)上单调递增

例1.(2)(多选)如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象，则

A.在x=-2时，函数y=f(x)取得极值

B.在x=1时，函数y=f(x)取得极值

C.y=f(x)的图象在x=0处切线的斜率小于零

D.函数y=f(x)在区间(一2,2)上单调递增

1.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示，则