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第五章》
一元函数的导数及其应用
5.3导数在研究函数中的应用
5.3.2函数的极值(1)
学习目标
活动方案检测反馈
学习目标
学习目标XUEXIMUBIAO
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.理解极值与极值点的概念,能利用导数求某些函数的极大值与极小值.
3.学会绘制极值与导数的关系表,掌握求函数极值的步骤.
活动方案
思考1▶D▶
观察下图,我们发现,当t=a时,高台跳水运动员距水面的高度最大.那么,函数h(t)在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地,导数的正负性有
活动一理解函数极值的概念,掌握极值与导数的关系
什么变化规律?
【解析】从t=a附近函数h(t)的图象可以看出,h(a)=0;在t=a的附近,当ta时,函数h(t)单调递增,h(t)0;当ta时,函数h(t)单调递减,h(t)0.这就是说,在t=a附近,函数值先增(当ta时,h(t)0)后减(当ta时,h(t)0),这样,当t在a的附近从小到大经过a时,h(t)先正后负,且h(t)连续变化,于是有h(a)=0.
思考2DD▶
如图,函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的正负性有什么规律?
【解析】以x=a,b两点为例,可以发现,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在x=a点附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.类似地,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.
X
x₁左侧
x₁
x₁右侧
f(x)
0
f(x)
单调递增
取得极大值
单调递减
⑩1.结合上图探求函数的极大值与导数的关系:
X
x₂左侧
X₂
x₂右侧
f(x)
(x)0
f(x)=0
(x)0
f(x)
单调递减
取得极小值
单调递增
⑩其中x₁,x₂叫作函数的极大值点与极小值点,极大值点与极小值点统称为极值点,
极大值与极小值统称为极值.
02.试类比探求极小值与导数的关系:
例1求函数的极值.
【解析】因为,所以f(x)=x²-4=(x+2)(x—2).
令f(x)=0,解得x=—2或x=2.
当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:
X
(一0,一2)
-2
(一2,2)
2
(2,十一)
f(x)
十
0
—
0
十
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
活动二掌握求函数极值的方法
当x=2
结
⑩求函数的极值的一般步骤:
⑩(1)先求导得f(x);
⑩(2)解方程f(x)=0,求出x的值;
⑩(3)列表检查f(x)在f(x)=0的根左右的值的符号来确定函数的极值.
【解析】不一定,如函数f(x)=x³,导数为f(x)=3x².虽然但由于无论x0,还是x0,恒有f(x)0,即函数f(x)=x³是增函数,所以0不是函数f(x)=x³的极值点.一般地,函数y=f(x)在某点的导数值为0是函数y=f(x)在该点取极值的必要条件而非充分条件.
思考3DD
若x₀是可导函数f(x)的极值点,则f(x₀)=0.反过来,若f(x₀)=0,则x₀一定是函数f(x)的极值点吗?能否举例说明?
X
(一0,0)
0
(0,2)
2
(2,十
f(x)
—
0
十
0
f(x)
单调递减
0
单调递增
4
e²
单调递减
【解析】因为
令f(x)=0,解得x=0或x=2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如
下表所示.
例2求函数的极值,并画出其图象.
检测反馈
【解析】由题意,得y=3x²-6,令y0,解得x\2或x-√2;令y0,解得一√2x√2,则当x=-√2时,f(x)有极大值f(一√2)=4\2.
1.函数y=x³-6x的极大值为(A)
A.42B.3/2
C.3√2D.—441/2
4
2
3
5
02.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,
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