2.6.2 双曲线的几何性质（教学课件）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

平面解析几何

2.6.2双曲线的几何性质

复习回顾

双曲线的定义|IMF₁I-IMF₂I|=2a(02a|F₁F₂I)

图象

c²=a²+b²

1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等);

2.了解双曲线的渐近线，并能用双曲线的简单几

何性质解决一些简单问题。

课程标准

理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线

方程.(逻辑推理)

通过具体实例初步了解直线与双曲线相交的相关问题.(数学运算)

重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线的性质

难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题

学习目标

掌握双曲线的简单几何性质.(直观想象)

学习

目标

三

本课导入

下面我们由双曲线的方程来研究双曲线具有的几何性质

已知双曲线C的方程为,根据这个方程完成下列任务：

(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；

(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；

(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；

(4)如果(x,y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点

我们可以根据方程得到双曲线什么样的几何性质呢?

一般地，如果双曲线C的标准方程是

新知讲解

1.范围

观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围?能利用它的方程给出

证明吗?

双曲线上点(x,y)都满

所,即x²≥a²,所以|x|≥a(a0).

双曲线在不等式x≥a与x≤-a所表示的区域闲

新知讲解

2.对称性

如果(x,y)是方程①的一组解，则不难看出(-x,y),(x,-y),(-x,-y)都是方程的解，

(x,y)和(x,-y)关于x轴对称，所以双曲线关于x轴对称(x,y)和(-x,y)关于y轴对称，所以双曲线关于y轴对称

(x,y)

(y)关于原点对称，所以双曲线关于原点对称双曲线关干y轴、轴、原点都是对称的.

坐标轴是双曲线的对称轴.

原点是双曲线的对称中心.

双曲线的对称中心叫做双曲线的中心

新知讲解

在方程①中，令y=0,得x=±a,

双曲线和x轴有两个交点A₁(-a,0)、A₂(a,O),

叫做双曲线的顶点.

令x=0,得y²=-b²,

这个方程没有实数根，则双曲线和y轴无交点.

特殊点B₁(0,-b)、B₂(0,b).

线段A,A₂叫做双曲线的实轴.线段B₁B₂叫做双曲线的虚轴.

实轴的长等于2a.虚轴的长等于2b.

叫做双曲线的实半轴长.b叫做双曲线的虚半轴长

特别的，实轴长与虚轴长相等的双曲线成为等轴双曲线.

新知讲解

y

\i

3.顶点

R

由方程可以看出，如果(x,y)是双曲线上一点，则|x|增大时，

ly|也是增大的.这就是说，双曲线向四周无限延展，那么,这种无限延展还有什么性质呢?

考虑到双曲线关于坐标轴和原点对称，因此我们只需了解双曲线在第一象限内的情况即可。

在第一象限内，双曲线的方程可以改写为

因为xa时，√x2-a²√x²=x,

这说咀在第一象限内，双曲线一定在直线的下方；又因为此时如果x越来越大，则√x²-a²≈√x²=x,

双曲线会越来越接近直

新知讲解

4.渐近线

新知讲解

第一象限

第二象限第三象限

b

y=ax

新知讲解

从几何直观上来看：

双曲线在四个象限，四个方向上无限接近两条直线y=±但又始终不相交，

从代数角度上来看：

计算双曲线上的点P(x,y)到渐近线的距离d,

对于第一象限：当x→+0,d→0,但是d≠0

无限接近，但又始终不相交，

我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线

双曲线怎样做，才更准确?

f

5.离心率

同椭圆的情形一样，双曲线的半焦距与半长轴长之比

(1)根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围；

a0,所以e1.

称为双曲线的离心率。

新知讲解

所以e越趋近于1,b的值越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄.

a

(2)猜想双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系，并尝

试证明.

x²-y²=1

新知讲解

e₁=√2

e₃=2

图形

方程

范围

x≥a或x≤-a,y∈R

y≥a或y≤-a,x∈R

对称性

关于x轴、y轴、原点对称

顶点

A₁(-a,0),A₂(a,0)

A₁(0,-a),A₂(0,a)

D

离心率

e=S(e1)

渐近线

*

总结归纳

例1.求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离

解：

(2)双曲线的方程可化

双曲线