人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步培优讲义专题4.1 数列的概念（重难点题型精讲）（教师版）.docVIP

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专题4.1数列的概念（重难点题型精讲）

1．数列的概念

数列的定义

一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一

个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号SKIPIF10表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用SKIPIF10表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用SKIPIF10表示.其中第1项也叫做首项.

2．数列的分类

3．数列的通项公式

如果数列{SKIPIF10}的第n项SKIPIF10与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这

个数列的通项公式.

4．数列的递推公式

(1)递推公式的概念

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.

(2)对数列递推公式的理解

①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.

如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：

基础——数列{SKIPIF10}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{SKIPIF10}的任意一项SKIPIF10与它的前一项SKIPIF10(SKIPIF10)(或前几项)间的关系，并且这个关系可

以用等式来表示.

5．数列表示方法及其比较

6．数列的前n项和

数列{SKIPIF10}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{SKIPIF10}的前n项和，记作SKIPIF10，即SKIPIF10=SKIPIF10+SKIPIF10++SKIPIF10.

如果数列{SKIPIF10}的前n项和SKIPIF10与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做

这个数列的前n项和公式.

SKIPIF10=SKIPIF10.

7．数列的性质

(1)单调性

如果对所有的SKIPIF10，都有SKIPIF10SKIPIF10，那么称数列{SKIPIF10}为递增数列；如果对所有的SKIPIF10，都有SKIPIF10

SKIPIF10，那么称数列{SKIPIF10}为递减数列.

(2)周期性

如果对所有的SKIPIF10，都有SKIPIF10=SKIPIF10(k为正整数)，那么称{SKIPIF10}是以k为周期的周期数列.

(3)有界性

如果对所有的SKIPIF10，都有SKIPIF10，那么称{SKIPIF10}为有界数列，否则称{SKIPIF10}为无界数列.

【题型1根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】

【方法点拨】

根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特

征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号

之间的规律.

【例1】（2022·甘肃·高二期中）数列32,?5

A．2n?12n

C．(?1)n+12n+12

【解题思路】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式.

【解答过程】解：由题意，在数列32

分子是以3为首项，2为公差的等差数列，∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，

∴比例系数为(?1)n+1∴数列的一个通项公式为：a

【变式1-1】（2022·重庆高二阶段练习）数列?1,13,?

A．an=?1

C．an=