圆中的重要模型之圆弧的中点模型（解析版）-初中数学.pdf

圆中的重要模型之圆弧的中点模型

当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心

角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之

间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压

轴题型。

当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这

样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。

例题讲解模型目录

模型1.与垂径定理相关的中点模型

模型2.与圆周角定理相关的中点模型(母子模型)

模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型

模型4.与托勒密定理相关的中点模型

习题练模型

模型1.与垂径定理相关的中点模型例题讲解模型

图1图2图3



1)条件：如图1，已知点P是AB中点，连接OP结论：，OP⊥AB；



2)条件：如图2，已知点P是AB中点，过点P作MN∥AB结论：，MN是圆O的切线；



3)条件：如图3，点P是AB中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠结论：A，MN是圆O切线。

证明：1)根据垂径定理易得：OP⊥AB；

2)由1)知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。



3)由1)知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是AB中点，∴AP=BP，∴∠ABP=∠BAP，

∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。

1



1.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，△BCD内接于⊙O，点B是CD的中点，CD是⊙O的直径．若

∠ABC=30°，AC=4，则BC的长为()

A.5B.42C.43D.52

【答案】B

【分析】连接AD，先求得∠CAD=∠CBD=90°，再利用直角三角形的性质求得CD=2AC=2×4=8，又



由点B是CD的中点得BC=BD，进而利用勾股定理即可得解．

【详解】解：如图，连接AD，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=∠CBD=90°，

∵∠ABC=30°，∴∠CDA=∠ABC=30°，∴CD=2AC=2×4=8，



∵点B是CD的中点，∴BC=BD，

2222

∵∠CBD=90°，∴BC+BD=CD即2BC=64，解得BC=42，故选：B．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，30°直角三角形的性质，弧、弦之间的关系，熟练掌握圆周角

定理及勾股定理是解题的关键．



2.(2023·湖北十堰·九年级校考期中)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AC的中点，BD

交AC于点E，过点D作DF∥AC交BA的延长线于点F．

(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若AF=2，FD=4，求△DFB的面积．

48

【答案】(1)见解析(2)

5

【分析】(1)连接OD，由垂径定理得OD⊥AC，根据平行线的性质证明OD⊥DF，进而可得结论；