第四章 数列（压轴题专练）（解析版）.docx

第四章数列（压轴题专练）

1．（2024上·广东广州·高三统考阶段练习）已知数列满足，记，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为数列满足，，

所以，

所以，故AB错误；

又，

所以，即，

所以，故C正确；

因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，故D错误.

故选：C.

2．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）已知数列满足，，若对于任意正整数，都有，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】因为，所以恒成立，即恒成立.

因为，所以.因为恒成立，

整理得恒成立.

因为，所以.

当时，由，

得在上有解，

故的取值范围是.

故选：C

3．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】由数列的前项和为，

当时，可得，

又由当时，，适合上式，

所以数列通项公式为，

由数列满足且，可得，

即，

各式相加可得，

又由，所以，所以，

因为，且恒成立，

当，，，符合题意；

当，则满足且且，即，解得；

综上，实数的取值范围为.

故选：D.

4．（2023下·浙江·高二校联考开学考试）如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的面积为1，把图①，图②，图③，图④，……的面积依次记为，则满足的最小值为（????）

??

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【详解】记第个图形为，三角形边长为，边数，面积为．

由图形作法可知，，．

即

利用累加法可得

因为数列是以为公比的等比数列，数列是以4为公比的等比数列，

所以是以为公比的等比数列．

因为，即，此时，，，

所以，

所以．

由，得．

所以的最小值是4.

故选：C．

5．（2023上·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知数列满足，当时，有以下3个结论：①时，，②，存在常数，使得恒成立，③时，为递减数列，其中正确的个数为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【详解】由题意可得，

所以可得，；

所以，

递推可得；

对于①时，，而只能是奇数，所以，

可得，所以，即①正确；

对于②，，同理可知，即可得，存在常数，使得恒成立，即②正确；

对于③时，，即随着的增大，在逐渐减小，此时为递减数列；即③正确.

所以正确的个数为3个.

故选：D

6．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，则从正方形开始，连续15个正方形的面积之和等于（????）

??

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，第个正方形的面积为，设第个正方形的边长为，则第个正方形的对角线长为，

所以第个正方形的边长为，

则数列是首项为，公比为的等比数列，

，则，

当时，，又，

数列是首项为，公比为的等比数列，

连续15个正方形的面积之和等于

故选：B

7．（2023下·云南曲靖·高一曲靖一中校考期末）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前项和，则（????）

A．2023 B．2024 C．2025 D．2026

【答案】B

【详解】由得，因此数列为公比为4，

首项为的等比数列，故，进而根据累加法

得，

，

，

又，

，

令

，

，

，

代入得，

故选：B.

8．（2023·全国·高三专题练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多?斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记，则下列结论不正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A正确；

当时，，，B正确；

由给定的递推公式得：，，…，，

累加得，

于是有，即，C错误；

，，，…，，累加得，D正确.

故选：C.

9．（2023下·北京·高二人大附中校考期中）已知数列满足，，，，，记数列前项和为，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】，

，，

令，则有，即数列从第2项开始是公差为1，首项为的等差数列，

，即，将代入上式检验得，正确；

，

，

显然，；