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第三章

函数逼近与FFT计算方法——基本概念

函数逼近三个问题问题一已知一个函数的数值表xx1x2……xnyy1y2……yn能否找到一个简单易算的p(x)，使得p(xi)=yi。问题二函数f(x)的表达式非常复杂，能否找到一个简单易算的p(x)，使得p(x)是f(x)的一个合理的逼近。问题三问题一的表中的数值带有误差，能否找到一个简单易算的p(x)，可以近似地表示这些数据。插值数值逼近

逼近标准度量p(x)与f(x)的近似程度的常用两种标准使尽可能地小。使尽可能地小。一致逼近平方逼近

预备知识预备知识线性空间、线性相关、线性无关基、维数、有限维空间与无限维空间常见线性空间：Rn、Hn、C[a,b]、Cm[a,b]Weierstrass定理设f(x)?C[a,b]，则对??0，总存在一个多项式p(x)，使得在[a,b]上一致成立。

范数范数与赋范线性空间设S为线性空间，x?S，若存在唯一实数||·||，满足正定性：||x||?0，等号当且仅当x=0时成立齐次性：||?x||=|?|·||x||，??R三角不等式：||x+y||?||x||+||y||则称||·||为S上的范数，(S,||·||)称为赋范线性空间

赋范线性空间赋范线性空间Rn线性空间Rn，x=(x1,x2,?,xn)T?Rn1-范数：2-范数：?-范数：（最大范数）

赋范线性空间赋范线性空间C[a,b]线性空间C[a,b]，f(x)?C[a,b]1-范数：2-范数：?-范数：

内积空间内积空间设X是数域K(R或C)上的线性空间，对?u,v?X有K中的一个数(u,v)与之对应，且满足，等号当且仅当u=0时成立称(u,v)为X上的内积，定义了内积的线性空间称为内积空间u,v正交(u,v)=0

内积空间定理设X是一个内积空间，对?u,v?X有Cauchy-Schwarz不等式定理设X是内积空间，u1,u2,?,un?X，定义矩阵则G非奇异当且仅当u1,u2,?,un线性无关。Gram矩阵

内积例：Rn上的内积：内积导出范数：导出的范数为加权内积给定正实数?1,?2,?,?n,定义正实数?1,?2,?,?n称为加权系数

内积例：Cn上的内积：加权内积?1,?2,?,?n为正实数例：C[a,b]上的内积：

权函数权函数设?(x)是[a,b]上的非负函数，满足，存在且为有限值对[a,b]上的任意非负函数g(x)，则称?(x)是[a,b]上一个权函数[a,b]可以是无限区间，即a,b可以是无穷大权函数与定义区间有关若，则

常见的权函数常见的权函数

带权内积带权内积设?(x)是[a,b]上的权函数，f(x),g(x)?C[a,b]导出范数性质设?0,?1,?,?n?C[a,b]，则?0,?1,?,?n线性无关当且仅当det(G)?0，其中

函数逼近记Hn为所有次数不超过n的多项式组成的集合，给定函数f(x)?C[a,b]，若P*(x)?Hn使得则称P*(x)为f(x)在C[a,b]上的最佳逼近多项式最佳逼近最佳一致逼近最佳平方逼近

函数逼近最小二乘拟合寻找P*(x)，使得下面的离散2-范数最小给定f(x)?C[a,b]的数据表xx0x1…xnyy0y1…yn作业教材第94页：4(1)，5（选作）