数值分析-第一章-绪论.ppt

1。4向量和矩阵的范数在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。1。4。1向量的范数定义1。5如果向量的某个实值函数满足：（1）正定性：，且当且仅当x=0；（2）齐次性：对任意实数，都有（3）三角不等式：对任意x，y，都有则称为上的一个范数。设矩阵A的第p行元素绝对值之和达到最大，即取向量，其中显然，而且于是（1）得证。再证明（3）：显然，是对称半正定矩阵，它的全部特征值均为非负，设为由实对称矩阵的性质，各特征值向量必正交。设对应的正交特征向量由，即对向量，可由的一个基线性表示，即有于是有另一方面，取，显然有因此，（3）得证。例1。11设矩阵，计算A的各种算子范数解求得，因此定义1。10设的特征值为，称为A的谱半径。定理1。6设。则有证设，且必存在向量y，使不是零矩阵。于是即得。例1。12设矩阵A与矩阵B是对称的，求证证因为于是有即。同理。由于，所以定理1。7如果，则为非奇异矩阵，且这里的矩阵范数是指矩阵的算子范数。证若奇异，则存在向量，使，故有，这与矛盾，所以非奇异。由于于是得当矩阵范数取算子范数时，，因此，定理得证。类似于向量范数，矩阵范数也具有下面的等价性。定理1。8上的任意两种矩阵范数是等价的，即对上的任意两种范数矩阵和，存在常数，使得由矩阵范数的等价性，我们可以用矩阵的范数描叙矩阵序列的极限性质。定义1。11设矩阵序列若存在，使得则称序列收敛于，记为可以验证1.5Matlab使用简介Matlab是由美国MathWorks公司推出的用于数据计算和图形处理的科学计算系统环境。它具有优秀的计算能力和卓越的数据可视化能力。Matlab是英文MatrixLaboratory(矩阵实验室）的缩