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2023-2024学年黑龙江省佳木斯中学高三春季诊断性测试数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.将函数的图像向右平移个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,若为奇函数,则的最小值为()
A. B. C. D.
2.设是虚数单位,复数()
A. B. C. D.
3.在中,,分别为,的中点,为上的任一点,实数,满足,设、、、的面积分别为、、、,记(),则取到最大值时,的值为()
A.-1 B.1 C. D.
4.已知定点都在平面内,定点是内异于的动点,且,那么动点在平面内的轨迹是()
A.圆,但要去掉两个点 B.椭圆,但要去掉两个点
C.双曲线,但要去掉两个点 D.抛物线,但要去掉两个点
5.已知定义在上函数的图象关于原点对称,且,若,则()
A.0 B.1 C.673 D.674
6.若满足,且目标函数的最大值为2,则的最小值为()
A.8 B.4 C. D.6
7.如图,四面体中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小为,若四面体的顶点都在球上,则球的表面积为()
A. B. C. D.
8.等腰直角三角形的斜边AB为正四面体侧棱,直角边AE绕斜边AB旋转,则在旋转的过程中,有下列说法:
(1)四面体EBCD的体积有最大值和最小值;
(2)存在某个位置,使得;
(3)设二面角的平面角为,则;
(4)AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P,则点P的轨迹为椭圆.
其中,正确说法的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如果,那么下列不等式成立的是()
A. B.
C. D.
10.设分别是双曲线的左右焦点若双曲线上存在点,使,且,则双曲线的离心率为()
A. B.2 C. D.
11.抛物线的焦点为,点是上一点,,则()
A. B. C. D.
12.函数在的图像大致为
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,点在边上,且,设,,则________(用,表示)
14.若曲线(其中常数)在点处的切线的斜率为1,则________.
15.已知,,求____________.
16.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,内角的对边分别是,已知.
(1)求角的值;
(2)若,,求的面积.
18.(12分)已知.
(1)求不等式的解集;
(2)记的最小值为,且正实数满足.证明:.
19.(12分)如图,已知三棱柱中,与是全等的等边三角形.
(1)求证:;
(2)若,求二面角的余弦值.
20.(12分)设函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若的最小值为,且,求的最小值.
21.(12分)已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:.
22.(10分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若点的极坐标为,,求的值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
根据三角函数的变换规则表示出,根据是奇函数,可得的取值,再求其最小值.
【详解】
解:由题意知,将函数的图像向右平移个单位长度,得,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,,
因为是奇函数,
所以,解得,
因为,所以的最小值为.
故选:
【点睛】
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质,属于基础题.
2、D
【解析】
利用复数的除法运算,化简复数,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,复数,故选D.
【点睛】
本题主要考查了复数的除法
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