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2023-2024学年衡阳市重点中学招生全国统一考试(江苏卷)模拟数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.小王因上班繁忙,来不及做午饭,所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12:00~12:10之间随机到达小王所居住的楼下,则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是()
A. B. C. D.
2.在中,,则=()
A. B.
C. D.
3.在长方体中,,则直线与平面所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
4.棱长为2的正方体内有一个内切球,过正方体中两条异面直线,的中点作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为()
A. B. C. D.1
5.已知为圆:上任意一点,,若线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为()
A. B.
C.() D.()
6.在区间上随机取一个数,使得成立的概率为等差数列的公差,且,若,则的最小值为()
A.8 B.9 C.10 D.11
7.的图象如图所示,,若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合,则可取的值的是()
A. B. C. D.
8.大衍数列,米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则大衍数列中奇数项的通项公式为()
A. B. C. D.
9.函数与的图象上存在关于直线对称的点,则的取值范围是()
A. B. C. D.
10.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()
A.4 B.5 C.6 D.7
11.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()
A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c
12.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________.
14.展开式中项的系数是__________
15.已知函数,令,,若,表示不超过实数的最大整数,记数列的前项和为,则_________
16.已知椭圆的下顶点为,若直线与椭圆交于不同的两点、,则当_____时,外心的横坐标最大.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知矩阵,且二阶矩阵M满足AM?B,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
18.(12分)在中,角的对边分别为,且.
(1)求角的大小;
(2)已知外接圆半径,求的周长.
19.(12分)如图,在四棱锥中,侧面为等边三角形,且垂直于底面,,分别是的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)已知点在棱上且,求直线与平面所成角的余弦值.
20.(12分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,点P在棱DF上.
(1)若P是DF的中点,求异面直线BE与CP所成角的余弦值;
(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为,求PF的长度.
21.(12分)如图,在正四棱锥中,底面正方形的对角线交于点且
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求锐二面角的大小.
22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;
(2)设点,若直线与曲线相交于、两点,求的值
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
设出两人到达小王的时间,根据题意列出不等式组,利
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