北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §2 微积分基本定理.docVIP

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第四章DISIZHANG定积分

§2微积分基本定理

课后篇巩固提升

A组

1.下列各式错误的是()

A.0π2sinφdφ=1 B.

C.e1exdx=-1 D.e

解析对于A,0π2sinφdφ=-cosφ|0

对于B,0π2cosxdx=sinφ|0

对于C,e1exdx=ex|e1

对于D,e11x

答案C

2.若S1=12x2dx,S2=121xdx,S3=12exdx,则S1

A.S1S2S3 B.S2S1S3

C.S2S3S1 D.S3S2S1

解析S1=12x2dx=13x3|12=73,S2=121xdx=ln2,S3=12

∴S2S1S3.

答案B

3.设f(x)=x2

A.34 B.45 C.5

解析02f(x)dx=01x2dx+12(2-x)dx=13

答案C

4.设函数f(x)=xm+ax的导函数为f(x)=2x+1,则12

A.56 B.12 C.2

解析∵f(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x,

于是12f(-x)dx=12(x

=13

答案A

5.若0me2xd0),则m=

解析由题得0me2x

答案ln2

6.已知一物体自由下落的速度为v=gt,则当t从2s至3s时,物体下落的距离为.?

解析物体下落的距离s=23g(t)dt=12gt2|2

答案52

7.已知函数f(x)=3x2+2x+1,若-11f(x)dx=2f(a)成立,则a=

解析∵-11f(x)dx=-11(3x2+2x+1)dx=(x3+x2+x)|-11=4,∴

答案-1或1

8.已知2≤12(kx+1)dx≤4,则实数k的取值范围是

解析∵12(kx+1)dx=1

∴2≤32k+1≤4.∴2

答案23

9.计算下列定积分.

(1)e033x+2

(3)02(x2

解(1)∵[ln(3x+2)]=33x+2

∴e03

=ln(3e+2)-ln(3×0+2)=ln3e+22

(2)∵(sinx+x2)=cosx+2x,

∴-π2π2

=sinπ2

(3)∵y=|x2-1|=x

∴02(x2-1)dx=01(1-x2)dx+12

=x

=1-

10.已知f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f(2)x+3,试求03

解∵f(x)=x2+2f(2)x+3,∴f(x)=2x+2f(2).

∴f(2)=4+2f(2).∴f(2)=-4.

∴f(x)=x2-8x+3.

∴03f(x)dx=1

B组

1.设a0,a≠1,若02axdx=-2ax|

A.e-2 B.e2 C.e-1

解析∵02axdx=1lnaax|02=a2lna-1lna=-2a

又∵a0且a≠1,∴lna=-12.∴a=e

答案C

2.已知f(x)是一次函数,且01f(x)dx=5,01xf(x)dx=

A.4x+3 B.3x+4 C.-4x+2 D.-3x+4

解析设f(x)=ax+b(a≠0),则01f(x)dx=01(ax+b)dx=

01xf(x)dx=01(ax

=13ax3+12

答案A

3.一物体在力F(x)=5,

A.54J B.40J C.36J D.14J

解析由题意得W=04F(x)dx=025dx+24

答案C

4.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f(0)=0,01

解∵f(-1)=2,∴a-b+c=2.

又f(x)=2ax+b,∴f(0)=b=0.

∵01f(x)dx=01(ax

=13ax

∴13a+1

解方程组a

5.如图所示,在区间[0,1]上给定曲线y=x2,试在此区间内确定t的值,使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小.

解S1等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t围成的图形的面积,即S1=t·t2-0tx2dx=23t

S2等于曲线y=x2与x轴、x=t及x=1围成的图形的面积去掉一矩形面积,矩形边长分别为t2,1-t,

即S2=t1x2dx-t2(1-t)=23t3-t2+

所以阴影部分面积

S=S1+S2=43t3-t2+1

令S(t)=4t2-2t=4tt-

得t=12

因为当0t12时,S(t)0;当12t≤1时,S(t)0;所以当t∈

当t∈12

所以当t=12时,Smin=S1