小学奥数专题 等高成比.docx

等高成比

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知识定位

本讲中的主要知识点可以概括为三种基本模型,并不难理解。三角形、平行四边形、长方形、正方形这些基本图形的面积公式在学校里都已经学过,这三种模型不外乎是在这些公式的基础上延伸。等高成比在平面几何题中应用十分广泛,需要重点掌握.

知识梳理

1、模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系

(1)两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。

S1：S2=a：b；

条件：共线比例a：b

应用：以比例线段为底边找三角形

延伸：已知面积比求线段比

（2）模型一是最关键的模型,虽然简单但应用范围很广,出现形式多样,一定要让学生完全掌握。

2、模型二：等分点结论（“鸟头定理”）

如图,三角形AED占三角形ABC面积的×=

模型二是模型一的一种简单拓展,可适当进行推导让学生加深对模型一的理解认识,进一步强调模型一的重要性。

3、模型三：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）

（1）①S1：S2=S4：S3或者S1×S3=S2×S4

（对角面积之积相等）

应用：知道三个面积就能求第四个面积

②AO：OC=（S1+S2）：（S4+S3）

（2）模型三虽然不常见,但是在解任意四边形的面积问题时很实用。同时,这个结论也是由模型一推到而来,过程较模型二稍微复杂一些,可作适当讲解,进一步加深学生对模型一的理解。

4、重点难点解析

(1)模型一与其他知识混杂的各种复杂变形

(2)在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”

竞赛考点挖掘

(1)三角形面积等高成比

(2)“鸟头定理”

(3)“蝴蝶定理”

例题精讲

【试题来源】

【题目】

如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点,H为AD边上的任意一点,求阴影部分的面积.

【答案】28

【解析】

如右图,连接BH、HC,由E、F、G分别为AB、BC、CD三边的中点有AE=EB、BF=FC、CG=CD.

因此S1=S2,S3=S4,S5=S6,而阴影部分面积=S2+S3+S6,空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面积与空白部分面积相等,均为长方形的一半,即阴影部分面积为28.

【知识点】等高成比

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

如右图,ABFE和CDEF都是矩形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是____平方厘米．

【答案】6

【解析】

上排4个阴影三角形的高都等于BF,底边之和恰好为AB,他们的面积之和为；下排4个三角形的高都等于CF,底边之和恰好为CD,他们的面积

之和为.所以阴影部分面积为:

(平方厘米).

【知识点】等高成比

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

如图,在三角形ABC中,BC=8厘米,AD=6厘米,E、F分别为AB和AC的中点,那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？

【答案】6

【解析】

首先,平方厘米,而F是AC中点,所以.又E是AB中点,所以平方厘米.

【知识点】等高成比

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

如图,在面积为1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中点,延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。

【答案】

【解析】

连接DE,于是三角形AEF的面积=三角形EFD的面积,所求被转化为三角形EDC的面积。因为F是AD中点,所以三角形AEC的面积和三角形EDC的面积相等,设SBDE为1份,则SAEC=SEDC为3份因此SABC一共7份,

每份面积为所以SEDC占3份为。

【知识点】等高成比

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】（难度等级※※）

如右图BE=BC,CD=AC,那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的几分之几？

【答案】

【解析】

上图中,三角形AEC与三角形ABC的高相等,而BE=BC,于是EC=BC,

又由于三角形AED与三角形AEC的高相等,而CD=AC,于是AD=AC,

所以,三角形AED的面积=×三角形AEC的面积=××三角形ABC的面积=×三角形ABC的面积

【知识点】等高成比

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

在右图中,AE:EC=1:2,CD:DB=l:4,BF:FA=1:3,三角形ABC的面积等于1．那么四边形AFHG的面积是多少?

【答案】

【解析】

如下图所示,我们分别求出△BFH、△AGE的面积问题也就解决．

如上左图,我们设,则;设,则.于是有

,有,则,所以

如上右图,我们设,