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2023-2024学年湖北省松滋市四中高三模拟测试数学试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足为虚数单位),则的虚部为()
A. B. C. D.
2.用数学归纳法证明1+2+3+?+n2=n4
A.k2+1
C.k2+1
3.已知函数,以下结论正确的个数为()
①当时,函数的图象的对称中心为;
②当时,函数在上为单调递减函数;
③若函数在上不单调,则;
④当时,在上的最大值为1.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在中,,,,点,分别在线段,上,且,,则().
A. B. C.4 D.9
5.是正四面体的面内一动点,为棱中点,记与平面成角为定值,若点的轨迹为一段抛物线,则()
A. B. C. D.
6.在中所对的边分别是,若,则()
A.37 B.13 C. D.
7.抛物线的焦点为,则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有()
A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个
8.一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上,且其中一个顶点在双曲线的右顶点,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
9.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.函数的定义域为,集合,则()
A. B. C. D.
11.设全集集合,则()
A. B. C. D.
12.《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,,当阳马体积的最大值为时,堑堵的外接球的体积为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为_____
14.已知实数,满足,则目标函数的最小值为__________.
15.能说明“在数列中,若对于任意的,,则为递增数列”为假命题的一个等差数列是______.(写出数列的通项公式)
16.设,则______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知直线:与抛物线切于点,直线:过定点Q,且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.
(1)求抛物线的方程及点的坐标;
(2)设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线PA,PB的斜率分别为,那么是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
18.(12分)已知函数.
(1)当时,解关于的不等式;
(2)若对任意,都存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.
19.(12分)设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若存在,使得不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.
20.(12分)已知椭圆与抛物线有共同的焦点,且离心率为,设分别是为椭圆的上下顶点
(1)求椭圆的方程;
(2)过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点,当弦的中点落在四边形内(含边界)时,求直线的斜率的取值范围.
21.(12分)已知函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)的图象与两坐标轴的交点分别为,若三角形的面积大于,求参数的取值范围.
22.(10分)如图,在平行四边形中,,,现沿对角线将折起,使点A到达点P,点M,N分别在直线,上,且A,B,M,N四点共面.
(1)求证:;
(2)若平面平面,二面角平面角大小为,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
,分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知,,故的虚部为.
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的除法运算,考查学生的基本运算能力,是一道基础题.
2、C
【解析】
首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4
【详解】
当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,
当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查数学归纳法,属于中档题./
3、C
【解析】
逐一分析选项,①根据函数的对称中心判断;②利用导
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