小学奥数专题 环形跑道.docx

学科培优数学

环形跑道

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知识定位

本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。

在做出线段图后,反复的在每一段路程上利用

路程和=相遇时间×速度和

路程差=追及时间×速度差

知识梳理

1.解环形跑道问题的一般方法

环形跑道问题,从同一地点出发,如果是相向而行,则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行,则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。

环线型

同一出发点

直径两端

同向

nS(路程差)

nS+0.5S(路程差)

相对(反向)

nS(路程和)

nS-0.5S(路程和)

2.重点难点解析

（1）．环形跑道问题同一地点出发,如果是相向而行,则每合走一圈相遇一次

（2）．环形跑道问题同一地点出发,如果是同向而行,则每追上一圈相遇一次

（3）．用比例解环形跑道问题

3.竞赛考点挖掘

（1）．环形跑道与数论的结合

（2）．用比例解环形跑道问题

例题精讲

【试题来源】

【题目】

一条环形跑道长400米,小青每分钟跑260米,小兰每分钟跑210米,两人同时出发,经过多少分钟两人相遇

【答案】8分钟

【解析】

小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟

【知识点】环形跑道

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

林琳在450米长的环形跑道上跑一圈,已知她前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么她的后一半路程跑了多少秒？

【答案】55

【解析】

设总时间为X,则前一半的时间为X/2,后一半时间同样为X/2

X/2*5+X/2*4=450

X=100

总共跑了100秒

前50秒每秒跑5米,跑了250米

后50秒每秒跑4米,跑了200米

后一半的路程为450÷2=225米

后一半的路程用的时间为（250-225）÷5+50=55秒

【知识点】环形跑道

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】

甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动,当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前60米处又第二次相遇。求此圆形场地的周长？

【答案】480

【解析】

由以上几题归纳可知：第一次相遇,两人共走了0．5圈；第二次相遇,两人共走了1．5圈．所以第二次相遇时,乙一共走了AD＝（米）,又知到AD＝60（米）,所以圆形场地的半周长为（米）,那么,周长为米。

【知识点】环形跑道

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

两人在环形跑道上跑步,两人从同一地点出发,小明每秒跑3米,小雅每秒跑4米,反向而行,45秒后两人相遇。如果同向而行,几秒后两人再次相遇

【答案】315秒

【解析】

（4+3）×45=315米——环形跑道的长（相遇问题求解）

315÷（4-3）=315秒——（追及问题求解）

【知识点】环形跑道

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

下如右图所示,某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米,乙每分走70米,那么经过多少时间甲才能看到乙？

【答案】16分40秒

【解析】

甲看到乙的时候,甲和乙在同一条边上,甲乙两人之间的距离最多有300米长,当甲追上乙一条边（300米）需300÷（90－70）＝15（分）,此时甲走了90×15÷300＝4．5（条）边,甲、乙不在同一条边上,甲看不到乙．甲再走0．5条边就可以看到乙了,即甲走5条边后可看到乙,共需分钟,即16分40秒．

【知识点】环形跑道

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

甲、乙、丙在湖边散步,三人同时从同一点出发,绕湖行走,甲速度是每小时5.4千米,乙速度是每小时4.2千米,她们二人同方向行走,丙与她们反方向行走,半个小时后甲和丙相遇,在过5分钟,乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？

【答案】4.2

【解析】

30分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米）,有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟,因为乙和丙从出发到相遇共用35分钟,所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）。

【知识点】环形跑道

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】

下图是一个边长90米的正方形,甲、乙两人同时从A点出发,甲逆时针每分行75米,乙顺时针每分行45米．两人第一次在CD边（不包括C,D两点）上相遇,是出发以后的第几次相遇？

【答案】第7次

【解析】