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2023年上海中学自主招生数学试卷

一、填空题

1．（3分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中，与“上”字所在面相对的面上的汉字是．

2．（3分）下面图1、2、3可分别用于说明．

（A、“勾股定理”；B、“平方差公式”；C、“完全平方公式”；将A、B、C按对应顺序填入）

3．（3分）使得16000•（）n的值是一个正整数的整数n一共有个．

4．（3分）设动直线x＝t与函数y＝f（x）的图象交于点P（t，f（t）），与函数y＝g（x）的图象交于点Q

（t，g（t）），当a≤t≤b时，总有PQ≤1恒成立，则称函数f（x）与g（x）在a≤x≤b上是“逼近函

数”，则下列结论：

①函数y＝﹣与y＝在﹣1≤x≤1上是“逼近函数”；

②函数y＝5x与y＝x2+5在3≤x≤4上是“逼近函数”；

③函数y＝x22

﹣1与y＝2x﹣x在0≤x≤1上是“逼近函数”，其中，正确的命题序号是．

5．（3分）如果方程x3﹣7x2+（10+k）x﹣2k＝0的三个根可以作为一个等腰三角形的边长，则实数k

＝．

6．（3分）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在

所有小圆外部分，则阴影部分的面积为．

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7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0）、B（﹣2，2），动点P在直线y＝﹣x上，动点Q在

x轴上，则AP+PQ+QB的最小值为．

8．（3分）设x，x，x，…，x是整数，且满足下列条件：

123100

①﹣1≤xi≤2，i＝1，2，3，…，100；

②x+x+x+…+x＝20；

123100

22223333

③x+x+x+…+x＝100，则x+x+x+…+x的最小值和最大值的和为．

123100123100

9．（3分）如图，一只小虫沿着图示的六边形构成的格子从点A爬行到点B，标记有箭头的边只能按箭头

方向爬行，且小虫爬行同一条边最多一次，则共有种不同的爬行路径．

二、解答题

10．斜边和斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形是否全等？判断并给出理由．

11．有一矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＝b，将矩形ABCD沿对角线AC对折后放于桌面上，探究其覆盖桌

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面的面积．

12．我们学习了实数与向量相乘，对于两个非零向量和，且∥，存在唯一实数λ，使得＝λ，记作

f（，）＝λ，如图，已知A、B、C、D为同一直线上顺次四点．

（1）若f（，）＝﹣2，则f（，）＝；

（2）若