第1章 坐标平面上的直线 （压轴题专练）（解析版）.docx

第1章坐标平面上的直线（压轴题专练）

目录：

题型1：曲线的方程

题型2：坐标平面上的直线与函数

题型3：新定义的距离问题

题型4：点到直线的距离

题型5：直线与方程综合问题

题型1：曲线的方程

1．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线；存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（????）.

A．和均为真命题 B．和均为假命题

C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题

【答案】A

【分析】根据方程确定研究曲线的性质，判断命题的真假．

【解析】记，

易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称，

从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹，

由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同），

由得，

时，或，

所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线，

当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线，

（实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可）

命题均正确，

故选：A．

【点睛】方法点睛：用方程确定曲线的性质，例如对称性，在曲线方程中用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，用替换，方程不变，则曲线关于轴对称，如果同时用替换，替换，方程不变，则说明曲线关于原点对称，同样如果互换后方程不变，曲线则关于直线对称等等，通过方程中变量的变化范围得出曲线点的坐标的变化范围，即曲线的范围，由变量变化的趋势得出曲线的变化趋势．

2．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题：

①曲线上的点关于轴，轴对称；????②曲线上两点间的最大距离为；

③的取值范围为；????④曲线围成的图形的面积小于．

则以上命题中正确的序号有．

【答案】①③

【分析】根据对称性,最值及图像特征分别判断命题即可.

【解析】对于①,设在曲线的方程上,因为也在曲线的方程上,

也在曲线的方程上,所以曲线上的点关于轴，轴对称;故①正确

对于③,又因为曲线的方程是,

所以,即得,

得,所以,故③正确

对于④当时,曲线的方程为,曲线与轴交点与轴交点,

曲线上的点关于轴对称可以得到曲线的大致图像,

曲线围成的图形的面积大于,故④错误;

对于②,如图及曲线的对称性可知,曲线上两点间的最大距离为,故②错误;

故答案为:①③

3．平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是“卡西尼卵形线”.假设是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点的轨迹为曲线，从而得到以下4个结论：

①曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形；

②曲线过坐标原点；

③若，则：

④定义，则当时，卡西尼卵形曲线逐渐退化为两个点，即和.

其中正确结论的个数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对于①：根据方程分析可得曲线关于x轴对称，且曲线关于原点对称；对于②：代入原点计算即可；对于③：整理可得，换元令，可知关于的方程在内有根，结合二次函数分析求解；对于④：若，则，整理可得，进而可知若时，，即可得结果.

【解析】因为，则，

对于①：若在曲线上，即，

对于，可得，

可知也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，

对于，可得，

可知也在曲线上，所以曲线关于原点对称，

综上所述：曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，故①正确；

对于②：因为不一定等于，

所以曲线不一定过坐标原点，故②错误；

对于③：若，则，

整理得，

令，则，

可知关于的方程在内有根，

可得或，

解得或，即，故③正确；

对于④：若，则，

则，

整理得，

若时，可知接近于，

所以，可得，即此时动点无限接近于点；

同理可得：若，动点无限接近于点；

综上所述：当时，卡西尼卵形曲线逐渐退化为两个点，即和，故④正确；

所以正确的个数为3.

故选：C.

【点睛】关键点睛：③中：利用换元法，将方程转化为关于的方程在内有根，进而分析求解；

④中：根据几何性质分析可得：，进而分析判断,

题型2：坐标平面上的直线与函数

4．已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论：

①；?????②不存在点，使得；

③的值恒为；?????④四边形面积的最小值为．

其中，所有正确结论的序号是．

【答案】①③④

【分析】由函数在定义域内的最小值求出的值验证结论①；设，点到直线的距离表示出，由是否有解判断结论②；计算的值判断结论③；④四边形面积表示成的函数，利用基本不等式求最小值判断结论④.

【解析】函数的定义域为，其最小值为2，

当时，在上单调递增，没有最小值