2.7.2 抛物线的几何性质（教学课件）-高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

2.7.2抛物线的几何性质

新授课

1.通过研究抛物线的方程，掌握抛物线的几何性质.2.能利用抛物线的几何性质进行简单应用.

OO

课堂总结

OO

学习目标

知识点一：抛物线的几何性质

思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，可以研究抛物线y=2px(p0)的

哪些几何性质?如何研究这些性质?

通过抛物线方程可以研究抛物线的范围，对称性，顶点，离心率等性质.

OO

学习目标

OO

课堂总结

(1)方程中x与y取值范围是多少?

∵y²≥0,∴2x≥0,即x≥0,y∈R.

由此可知，抛物线C位于y轴及y轴的右侧，如图所示.

思考：已知抛物线C的方程为y²=2x,根据方程回答下列问题：

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学习目标

OO

课堂总结

(2)抛物线C是否关于x轴，y轴，原点对称?为什么?

如果(x,y)是方程y²=2x的一组解，可得(x,-y)也是方程的解，即抛物线关于x轴对称；

又因为(-x,y),(-x,-y)不一定是方程的解，即抛物线不关于y轴和原点对称.

思考：已知抛物线C的方程为y²=2x,根据方程回答下列问题：

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学习目标

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课堂总结

(3)抛物线C与坐标轴是否有交点?如果有，求出交点坐标.

令y=0,得x=0;令x=0,得y=0.

所以抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点，

且交点都是原点(0,0).如图所示.

思考：已知抛物线C的方程为y²=2x,根据方程回答下列问题：

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学习目标

OO

课堂总结

由方程①可知，2px≥0,又∵p0,∴x≥0.

∴除顶点外，抛物线上的其余点都在y轴的右侧.

当x→+o时，|y|→+o,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如图所示.

此时，称抛物线C的开口向右(或朝右).

一般地，如果抛物线C的标准方程是

y²=2px(p0)①则可以根据方程①来得到抛物线的几何性质：

(1)范围

OO

学习目标

OO

课堂总结

(-y)²=y²=2px(p0)

所以抛物线C关于x轴对称.

此时称x轴是抛物线的对称轴(简称轴)抛物线只有一条对称轴。

y²=2px(p0)①

x轴对称

P(x,-y)

(2)对称性

P(x,y)

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课堂总结

OO

学习目标

y²=2px(p0)①

(3)顶点

在方程①中，令y=0,得x=0;令x=0,得y=0.可知抛物线C与x轴、y轴都交于原点(0,0).

此时，称原点是抛物线的顶点.

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学习目标

OO

课堂总结

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学习目标新课讲授课堂总结

y²=2px(p0)①

(2)离心率

抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用e表示.

根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率

e=1.

说出抛物线的范围(开口方向)、对称性、顶点、离心率，同①表示的抛物线相

比，有什么变化?

y²=-2px(p0)

x²=2py(p0)x²=-2py(p0)

思考：如果抛物线的标准方程是

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学习目标

OO

课堂总结

②

③④

图形

方程

焦点

准线

范围

顶点

对称轴

e

y²=2px(p0)

x≥0

y∈R

(0,0)

x轴

1

y²=-2px(p0)

x≤0

y∈R

(0,0)

x轴

1

1

x²=2py

(p0)

x²=-2py

y≥0

x∈R

y≤0

(0,0)

y轴

(0,0)

(p0)

x∈R

y轴

1

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OO

学习目标

新课讲授

课堂总结

四种抛物线的几何性质的对比

例1已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又

抛物线经过点M(-4,2√3),求这个抛物线的标准方程.

解：根据已知条件可设抛物线的标准方程为

y²=-2px(p0)

∵点M(-4,2√3)在抛物线上，

∴(2√3)²=-2p×(-4)∴2p=3

从而所求方程为y²=-3