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【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学（人教A版2019）常考题专练
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专题2-3直线与圆的16类最值问题全归纳
题型
题型汇编
知识梳理与常考题型
【题型1】点到含参直线距离最值
点P到含参直线l距离最大值即P点到定点A的距离
如图，直线l绕定点A旋转，易知
点到直线距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
【解答】解：方法一：因为点到直线距离；
要求距离的最大值，故需；
，当且仅当时等号成立，
可得，当时等号成立．
方法二：由可知，直线过定点，
记，则点到直线距离
【巩固练习】已知直线l方程为，那m为时，点到直线l的距离最大，最大值为
【答案】
【分析】求出直线过定点的坐标，当时，为所求点到直线距离的最大值，再由垂直求得值．
【详解】直线l：化为，
由，得，
直线l必过定点．
当点到直线l的距离最大时，垂直于已知的直线l，
即点与定点的连线长就是所求最大值，
此时直线与直线垂直，
，解得，
此时，点到直线的最大距离是．
综上所述，时，点到直线的距离最大，最大值为．
故答案为：；．
【题型2】过定点的弦长最短
设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂垂直的弦弦长为
已知直线和圆交于两点，则的最小值为（????）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】求出直线过定点，再利用弦长公式即可得到最小值.
【详解】，令，则，所以直线过定点，
当得，则在圆内，则直线与圆必有两交点，
因为圆心到直线的距离，所以．
【巩固练习1】过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是．
【答案】
【分析】利用垂径定理很快就可以找到最小弦长的直线，再利用勾股定理进行求解即可.
【详解】因为圆C：，圆心，半径
所以当过点的直线l垂直于时，弦长取最小值，
即.
【巩固练习2】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度最小值为.
【答案】
【分析】求出直线过的定点，求出圆的圆心和半径，连接，当直线与垂直时弦长最小，求出AB长度最小值.
【详解】由题意得直线过定点，
圆圆心为，半径为，
连接，当直线与垂直时弦长最小，
此时，
所以AB长度最小值为.
【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围
在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点和圆的一般式方程：（），
则点与圆的位置关系：
①点在外
②点在上
③点在内
注意：做题时不要漏掉这个不等式
若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.
【详解】由题可知，半径，所以，把点代入方程，
则，解得，所以故a的取值范围是.
【巩固练习1】若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.
【详解】由题意知，
故，
又由圆的一般方程，
可得，即，
即或，
所以实数的范围为.
【巩固练习2】若点在圆外，则实数的取值范围为.
【答案】
【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解.
【详解】圆的标准方程为，
由于点0,1在圆外，
所以，解得
【巩固练习3】过点可以向圆引两条切线，则的范围.
【答案】
【分析】根据方程表示圆和点在圆外可得不等式，由此可解得的范围.
【详解】由表示圆可得：，解得：；
过可作圆的两条切线，在圆外，，解得：；
综上所述：的范围为.
【题型4】点圆型最值问题
圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线距离的最小值减去半径
若实数满足，则的最大值是．
【答案】/
【分析】利用两点间距离几何意义求解最值.
【详解】设点，由实数满足可得：
点在以原点为圆心，以为半径的圆上，
设点，则的几何意义为动点到定点的距离，
由，则点在圆外，
结合图形可知，.
的最大值是.
故答案为：.
??
【巩固练习1】若点在圆上，则的最小值为.
【答案】
【分析】利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离，继而可求得所求.
【详解】因为，化为，
圆心为，半径为，
又表示点与点的距离的平方，
圆心与点的距离为，
所以点与点的距离的最小值为，
故的最小值为
【巩固练习2】若点是圆:上一点,则的最小值为（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意
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