2024—2025学年北京市北京师范大学附属实验中学高二上学期10月月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市北京师范大学附属实验中学高二上学期10月月考数学试卷

一、单选题

(★)1.在长方体中，化简（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.若向量，，则（）

A．

B．4

C．5

D．

(★★)3.已知经过，两点的直线的一个方向向量为，那么（）

A．

B．

C．

D．2

(★★)4.已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线l的方向向量，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)5.如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.如图，在四面体中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，，表示为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)8.已知，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是（）

A．

B．

C．或

D．或

(★★★)9.如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（）

A．

B．

C．

D．1

(★★★)10.如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）

A．点P到平面QEF的距离

B．直线PQ与平面PEF所成的角

C．三棱锥P﹣QEF的体积

D．二面角P﹣EF﹣Q的大小

二、填空题

(★★)11.若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为______.

(★)12.已知三点共线，则实数m的值为________．

(★★★)13.正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为______.

(★★★)14.如图，四面体的每条棱长都等于2，M，N分别是上的动点，则MN的最小值是____________.此时=____________.

(★★★★)15.如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，为上的动点，给出下列四个结论:

①G为的中点时，平面平面；

②存在点G，使得平面；

③有且仅有一个点G，使得三棱锥体积是12；

④不存在点G，使得直线CF与平面所成的角为其中所有正确结论的序号是____________.

三、解答题

(★★)16.已知坐标平面内三点，，．

(1)求直线AB的斜率和倾斜角；

(2)若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．

(★★)17.已知向量.

(1)若，求实数的值；

(2)求；

(3)若不能构成空间向量的一个基底，求实数的值.

(★★★)18.如图所示，平面，底面边长为1的正方形，2，P是MC上一点，且.

(1)建立适当的坐标系并求点坐标；

(2)求证：.

(★★★)19.图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且.

(1)证明:平面平面；

(2)棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.

(★★★)20.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，为棱的中点．

(1)求证：平面；

(2)若，再从条件①?条件②?条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求：

（i）直线与平面所成角的正弦值；

（ii）点到平面的距离．

条件①：二面角的大小为；

条件②：

条件③：．

(★★★★)21.在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.

(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的正弦值；

(2)已知平面的点法式方程可表