2024—2025学年北京市一零一中高二上学期统练一数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市一零一中高二上学期统练一数学试卷

一、单选题

(★★)1.在空间直角坐标系中，点，则（）

A．直线坐标平面

B．直线坐标平面

C．直线坐标平面

D．直线坐标平面

(★★)2.在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)3.已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(★★)4.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.在正四面体中，棱与底面所成角的正弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★)6.正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★★)8.在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了（）

A．54

B．

C．

D．

(★★★★)9.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（）

①的外接球表面积为；

②异面直线与所成角的取值范围是；

③直线平面；

④三棱锥的体积随着点的运动而变化.

A．①②

B．①③

C．②③

D．③④

(★★★)10.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，在图2中，则下列结果不正确的是（）

A．

B．点D到平面的距离为

C．点D到直线的距离为

D．平面与平面夹角的余弦值为

二、填空题

(★★)11.已知，是空间两向量，若，则与的夹角为______．

(★★)12.三个空间向量，，不共面，且存在实数，使.则__________.

(★)13.如图，圆锥的体积为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为，则______．

(★★★)14.如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是____．

(★★★)15.如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，E，F分别为PC，CD的中点，，且二面角的平面角大于，则的取值范围是__________.

(★★★★★)16.已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：

①已知，，则；

②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值；

③已知，，则；

④已知，，，则三棱锥的表面积.

其中真命题为________（写出所有真命题的序号）．

三、解答题

(★★★)17.如图，在四棱锥中，，四边形ABCD是正方形，，E是棱PD上的动点，且.

(1)证明：平面ABCD；

(2)是否存在实数，使得平面PAB与平面AEC所成夹角的余弦值是？若存在.求出的值；若不存在，请说明理由.

(★★★)18.如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点.点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题.

条件①：

条件②：；

条件③：平面.

(1)求证：为的中点；

(2)求直线E