人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步培优讲义专题4.2 等差数列的概念（重难点题型精讲）（原卷版）.docVIP

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专题4.2等差数列的概念（重难点题型精讲）

1．等差数列的概念

(1)等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.

(2)对等差数列概念的理解

①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.

②由概念可知，如果SKIPIF10-SKIPIF10(SKIPIF10)恒等于一个常数，那么数列{SKIPIF10}就是等差数列.

③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，

那么这个数列不是等差数列.

④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数

列不是等差数列.

⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.

2．等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有

2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.

3．等差数列的通项公式

(1)等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为SKIPIF10=SKIPIF10+(n-1)d，其中SKIPIF10为首项，d为公差.

(2)等差数列通项公式的变形

已知等差数列{SKIPIF10}中的任意两项SKIPIF10，SKIPIF10(n,mSKIPIF10,m≠n)，则

SKIPIF10SKIPIF10-SKIPIF10=(n-m)dSKIPIF10

4．等差数列与一次函数的关系

由等差数列的通项公式SKIPIF10=SKIPIF10+(n-1)d，可得SKIPIF10=dn+(SKIPIF10-d)，当d=0时，SKIPIF10=SKIPIF10为常数列，当d≠0时，SKIPIF10=

SKIPIF10+(n-1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{SKIPIF10}的图象是直线y=dx+(SKIPIF10-d)上一群均匀分布的孤立的点.

5．等差数列的单调性

由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.

①当d0时，数列为递增数列，如图①所示；

②当d0时，数列为递减数列，如图②所示；

③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.

因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.

6．等差数列的性质

设{SKIPIF10}为等差数列，公差为d，则

(1)若m+n=p+q(m,n,p,qSKIPIF10)，则SKIPIF10+SKIPIF10=SKIPIF10+SKIPIF10.

(2)数列{SKIPIF10SKIPIF10+b}(SKIPIF10,b是常数)是公差为SKIPIF10d的等差数列.

(3)若{SKIPIF10}是公差为d的等差数列，{SKIPIF10}与{SKIPIF10}的项数一致，则数列{SKIPIF10SKIPIF10+SKIPIF10SKIPIF10(SKIPIF10,SKIPIF10为常数)是公差为

SKIPIF10d+SKIPIF10d的等差数列.

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