人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步培优讲义专题4.5 等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（教师版）.docVIP

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专题4.5等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）

1．等比数列的前n项和公式

若等比数列{SKIPIF10}的首项为SKIPIF10，公比为q，则等比数列{SKIPIF10}的前n项和公式为

SKIPIF10=SKIPIF10.

2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系

(1)当q=1时，SKIPIF10=SKIPIF10是关于n的正比例函数，点(n,SKIPIF10)是直线y=SKIPIF10x上的一群孤立的点.

(2)当q≠1时，SKIPIF10=SKIPIF10.记A=SKIPIF10，则SKIPIF10=SKIPIF10+A是一个指数式与一个常

数的和.当q0且q≠1时，y=SKIPIF10是指数函数，此时，点(n,SKIPIF10)是指数型函数y=SKIPIF10+A图象上的一群孤立的点.

3．等比数列前n项和的性质

已知等比数列{SKIPIF10}的公比为q，前n项和为SKIPIF10，则有如下性质：

(1)SKIPIF10.

(2)若SKIPIF10(kSKIPIF10)均不为0，则SKIPIF10成等比数列，且公比为SKIPIF10.

(3)若{SKIPIF10}共有2n(nSKIPIF10)项，则SKIPIF10=q；

若{SKIPIF10}共有(2n+1)(nSKIPIF10)项，则SKIPIF10=q.

4．数列求和的常用方法

(1)公式法求和

①直接用等差、等比数列的求和公式.

②掌握一些常见的数列的前n项和公式.

(2)倒序相加法求和

如果一个数列{SKIPIF10}中，与首、末两项“等距离”的两项,的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序

相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.

(3)错位相减法求和

错位相减法求和适用于SKIPIF10型数列，其中SKIPIF10、SKIPIF10分别是等差数列和等比数列.

(4)裂项相消法求和

利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后

面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等.

【题型1求等比数列的通项公式】

【方法点拨】

根据所给条件，利用等比数列的前n项和，求解等比数列的基本量，即可得解.

【例1】（2022·湖北·高二期中）已知在等比数列an中，a3=4，前三项之和S3=12

A．an=16??

C．an=4 D．a

【解题思路】设公比为q，求出首项a1的公比q

【解答过程】设公比为q，则a1q2=4a

所以an=4或

【变式1-1】（2022·安徽铜陵·高一期末）各项均为正数的等比数列an，其前n项和为Sn.若a2?a5=?78，S

A．2n B．2n?1 C．3n

【解题思路】设公比为q的等比数列an，运用等比数列的通项公式，列方程，解方程即可得到首项和公比，即可得到数列a

【解答过程】由各项均为正数，公比为q的等比数列an，a2?

可得a1q?a1q4=?78

则an=a

【变式1-2】（2022·湖南·高三阶段练习）设正项等比数列an的前n项和为Sn，若2S3=3

A．4 B．3 C．2 D．1

【解题思路】根据第一个等量关系得到关于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二个等量关系得到关于首项的方程，解方程得到首项，从而得到a2

【解答过程】设正项等比数列an的公比为q（q0），则由2S3

即6a1+a2?2a3=0

由S8=2S7+2得a8=S7

则a2

【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习）等比数列{an}中,若公比

A．4n?1