人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步培优讲义专题4.5 等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）（原卷版）.docVIP

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专题4.5等比数列的前n项和公式（重难点题型精讲）

1．等比数列的前n项和公式

若等比数列{SKIPIF10}的首项为SKIPIF10，公比为q，则等比数列{SKIPIF10}的前n项和公式为

SKIPIF10=SKIPIF10.

2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系

(1)当q=1时，SKIPIF10=SKIPIF10是关于n的正比例函数，点(n,SKIPIF10)是直线y=SKIPIF10x上的一群孤立的点.

(2)当q≠1时，SKIPIF10=SKIPIF10.记A=SKIPIF10，则SKIPIF10=SKIPIF10+A是一个指数式与一个常

数的和.当q0且q≠1时，y=SKIPIF10是指数函数，此时，点(n,SKIPIF10)是指数型函数y=SKIPIF10+A图象上的一群孤立的点.

3．等比数列前n项和的性质

已知等比数列{SKIPIF10}的公比为q，前n项和为SKIPIF10，则有如下性质：

(1)SKIPIF10.

(2)若SKIPIF10(kSKIPIF10)均不为0，则SKIPIF10成等比数列，且公比为SKIPIF10.

(3)若{SKIPIF10}共有2n(nSKIPIF10)项，则SKIPIF10=q；

若{SKIPIF10}共有(2n+1)(nSKIPIF10)项，则SKIPIF10=q.

4．数列求和的常用方法

(1)公式法求和

①直接用等差、等比数列的求和公式.

②掌握一些常见的数列的前n项和公式.

(2)倒序相加法求和

如果一个数列{SKIPIF10}中，与首、末两项“等距离”的两项,的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序

相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.

(3)错位相减法求和

错位相减法求和适用于SKIPIF10型数列，其中SKIPIF10、SKIPIF10分别是等差数列和等比数列.

(4)裂项相消法求和

利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后

面剩两项，再就是通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂项前后保持相等.

【题型1求等比数列的通项公式】

【方法点拨】

根据所给条件，利用等比数列的前n项和，求解等比数列的基本量，即可得解.

【例1】已知在等比数列an中，a3=4，前三项之和S3=12

A．an=16??

C．an=4 D．a

【变式1-1】各项均为正数的等比数列an，其前n项和为Sn.若a2?a5=?78，S

A．2n B．2n?1 C．3n

【变式1-2】设正项等比数列an的前n项和为Sn，若2S3=3

A．4 B．3 C．2 D．1

【变式1-3】等比数列{an}中,若公比

A．4n?1 B．4n C．3n

【题型2等比数列前n项和的性质】

【方法点拨】

根据题目条件，结合等比数列前n项和的性质，进行转化求解，即可得解.

【例2】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3

A．488???????????? B．508????????? C．511??????????? D．567

【变式2-1】已知等比数列an共有32项，其公比q=3，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列an的所有项之和是（

A．30 B．60 C．90 D．120

【变式2-2】已知项数为奇数的等比数列{an}

A．5 B．7 C．9 D．11

【变式2-3】已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在m∈N*，满足S2m

A．?2 B．2 C．?3 D．3

【题型3求等比数列的前n项和】

【方法点拨】

根据条