第四章 数列（知识归纳+8类题型突破）（原卷版）.docx

第四章数列（知识归纳+题型突破）

1、能够结合具体实例，了解数列的概念，理解通项公式对于数列的重要性，知道通项公式是这类函数的解析表达式，掌握通项公式与前项和公式的关系.

2、通过等差数列和等比数列的研究，探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律，感悟数列是可以用来刻画现实世界中一类具有递推规律事物的数学模型，感受数列是一种特殊的函数，体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，体会数学的整体性.

3、能运用数列解决简单的实际问题和数学问题，感受数学模型的现实意义与应用.

4、重点提升数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模素养.

1、数列的分类

分类标准

类型

满足条件

项数

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

项与项间的大小关系

递增数列

其中

递减数列

常数列

2、数列的单调性

若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；

(1)求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；

（2）求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；

3、数列前项和与通项的关系

当时，

当时，

用

化简得：

所以：

4、等差数列的有关概念

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示．

5、等差中项

由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项.这三个数满足关系式.

6、等差数列的四种判断方法

(1)定义法（或者）(是常数)是等差数列．

(2)等差中项法：()是等差数列．

(3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数）

(4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项）

提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法

7、等差数列的性质

(1)

（2）若，则（特别的，当，有）

8、等差数列的前项和公式

(1)首项为，末项为的等差数列的前项和公式

（2）首项为，公差为的等差数列的前项和公式

9、等差数列前项和性质

(1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为

(2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列

(3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则

(4)若等差数列的项数为,则

，。

(5)若等差数列的项数为,则，，，

10、等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示()

符号语言（或者）(为常数，，)

11、等比数列的判断（证明）

（1）定义：（或者）（可判断，可证明）

（2）等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明）

（3）通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断）

12、等比数列常用性质

设数列是等比数列，是其前项和．

（1）

(2)若，则，其中.特别地，若，则，其中.

13、等比数列前项和公式

若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和

14、等比数列前项和的性质

公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类:

(1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列

(2)当是偶数时,;当是奇数时,

(3)

题型一等差数列基本量计算

【例1】（2023上·高二课时练习）已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：

(1)若，，求；

(2)若，，求；

(3)若，，，求n．

反思总结：等差数列基本量计算主要考查等差数列通项公式和前项和公式；解题时重点是求出和，然后应用公式求解。

巩固训练

1．（2023上·高二课时练习）根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和：

(1)7，5，3，1，，…；

(2)，，；

(3)，，.

2．（2023上·高二课时练习）在等差数列中，已知，．

(1)求；

(2)求．

题型二等比数列基本量计算

【例2】（2023上·高二课时练习）已知为等比数列．

(1)若，，求；

(2)若，，，求．

反思总结：等比数列基本量计算，主要是考查等比数列通项公式和前项和公式；主要是计算出和，然后再带入公式计算。

巩固训练

1．（2023上·高二课时练习）求下列等比数列的前项和：

(1)1，，，，…；

(2)，，；

(3)，，．

2．（2023上·高二课时练习）在等比数列中，

(1)，，求；

(2)，，求；

(3)，，求；

(4)，，求．

题型三等差数列判断与证明

【例3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设数列的前n项和为，已知，，．

(1)证明：数列是等差数列；

反思总结：证明一个数列是等差数列的方法主要有定义法和等差中项法，本题主要使用等差数列定义，证明，得到是等差数列．

巩固训练

1．（2023·山东威海·