第五章 一元函数的导数及其应用（压轴题专练）（解析版）.docx

第五章一元函数的导数及其应用（压轴题专练）

一、单选题

1．（2024·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）若，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：记则，

所以在单调递增，

故，

记，则，令，解得，故在上单调递减，

故，即，即，故，

记，则，

故当时，，故在上是增函数，

故，即，故，

故.

故选：B.

【点睛】思路点睛：本题主要考查构造函数，并利用函数单调性比较函数值大小.

首先构造函数，利用其单调性可证，再构造函数利用其单调性可证，可得；又构造函数，利用其单调性可证，可得，从而问题得解.

2．（2023上·河南·高三校联考开学考试）若函数在单调递增，则的最小值为（????）

A． B． C． D．0

【答案】B

【详解】对任意的恒成立，即，可得，

令，其中，则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以在取得极大值，，

所以当时，取得最大值，，

所以，，故.

故选：B

【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：

第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，

第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.

第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.

3．（2024上·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试），则的大小关系是（?????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】令，则，

所以，，，

下面证对任意（），都有，

令，则只需比较的大小，

因为，，

所以，令，则

，

令，，则，，

令，则，，

因为，，，，

所以，

所以，所以在上递减，且，

所以当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

若，有，且至多有一个不变号零点，单调递减，与矛盾，

所以，

若，有，且至多有一个不变号零点，单调递增，与矛盾，

所以，

所以，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查导数应用，解题的关键是根据已知条件构造函数，然后将转化为，，，再次构造函数利用导数证明即可，考查数学转化思想和计算能力，属于难题

4．（2023上·江苏无锡·高三校联考阶段练习）已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数，当时，，若，，，则的大小关系是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】令，因为时，，

所以当时，，则在上单调递减，

因为的定义域为，又，则，

所以，所以为偶函数，

故在上单调递增，

又，，

，

而，所以，即.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题的解决关键是观察条件，构造出，从而得解.

5．（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）已知，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为，又在区间上单调递增，

所以，

又，所以，得到，即，所以，故选项C和D错误；

又，所以，得到，即，

令，则，令，得到，

令，其部分图像如图所示，

如图，当时，，且，

又，，所以，当时，，

所以，当时，，即在区间上单调递增，

又当时，，

所以，当，，得到，即，

故选：A.

【点睛】关键点晴，本题的关键在于构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而解决问题.

6．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）定义在R上的函数满足为偶函数，当时，，其中是的导数.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】记，则,

由题意，知当时，，即，

则在上单调递增，所以,

因为是偶函数，所以是奇函数，所以在R上单调递增,

又，即，

所以，即对任意恒成立.令，

则，由，得；当时，，单调递增，

当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，

所以，所以，即实数a的取值范围为，

故选：D.

【点睛】分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路：

用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题.

一般地，若对恒成立，则只需;若对恒成立，则只需.

7．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】令，则，

因为，则，且，

可知，且仅当时，则在上单调递增，

又因为为偶函数，，

可得

令，可得，

注意到，

不等式，等价于，

可得，解得，

所以不等式的解集为.

故选：D.

【点睛】关键点睛：构建函数，利用单调性解不等式，利用诱导公式可得，等价于，即可得结果.

8．（2023·四川达州·统