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风险厌恶第7章

2024/10/14《金融经济学》--王江2概述作为偏好的一个基本性质，我们要求它是凸的，偏好的凸性对参与者的最优消费/组合选择有重要的影响。这一章我们将进行一些具体研究。

本章从上一章的效用函数出发，了解凸性的经济意义，引出风险厌恶的概念及其度量。最后考虑不同偏好所反应的风险厌恶之间的比较。

2024/10/14《金融经济学》--王江3本章内容框架7.1边际效用递减7.2风险厌恶的定义7.3风险厌恶的度量7.4风险厌恶的几个例子7.5风险厌恶的比较7.6一阶风险厌恶7.7本章小结

2024/10/14《金融经济学》--王江47.1边际效用递减定义7.1:对于函数u(·)，如果?x,y和

α∈[0,1]，有

u(αx+(1?α)y)≥αu(x)+(1?α)u(y)

（?uE(x)≥Eu(x)）

则我们称u(·)为凹的。我们立即可以得到下面的定理：

定理7.1:如果凸的连续偏好由(6.4)式中的期望效用函数表示，那么相应的效用函数u(·)是凹的。

2024/10/14《金融经济学》--王江57.1边际效用递减(续)证明：

我们只考虑如下的消费计划：[c0;c1]=[x;0]。?xy以及α∈(0,1)，偏好的凸性要求：u(αx+(1?α)y)αu(x)+(1?α)u(y)

如果我们用不等式代替严格不等式，显然成立

而当α=0和α=1时也满足

u(αx+(1?α)y)≥αu(x)+(1?α)u(y)

再考虑x和y的关系。

综合以上α，以及x，y的取值情况。可知满足定义7.1的条件，易得：u是凹的

2024/10/14《金融经济学》--王江67.1边际效用递减(续)定理7.2:如果凹函数u(·)还是二阶可微的，那么u”≤0

证明：令x=z-δ,y=z+δ以及α=1/2,那么,u是凹的意味着u(z)≥1/2[u(z-δ)+u(z+δ)],即：

0≥

如果u是二阶可微的，我们可以在上面的不等式中取极限δ→0，从而得到u”≤0。

2024/10/14《金融经济学》--王江77.1边际效用递减(续)现在我们来考察6.4式的期望效用函数为凹性的经济含义，u(·)表示的是消费的直接效用，它的一阶导数u′(·)表示的是消费的边际效用。不满足性要求u′(·)0，即边际效用始终为正。偏好的凸性意味着u”(·)≤0，也就是说边际效用是消费的减函数。边际效用递减意味着当消费水平上升时，一单位额外消费得到的效用递减。

2024/10/14《金融经济学》--王江87.2风险厌恶的定义上一节我们讨论了期望效用函数u(·)的凹性的一个重要含义是边际效用递减，这一节我们将继续探讨期望效用函数的另一个重要含义，也就是当偏好可以由期望效用表示时，凸性（凹函数）意味着风险厌恶。这节重点讨论风险厌恶的定义以及它与效用函数的关系。

2024/10/14《金融经济学》--王江97.2风险厌恶的定义(续)定义7.2:记为一个不确定的支付。如果E[]=0，则称为一个公平赌博。定义7.3:

如果满足

则称效用函数u(·)的参与者是(严格)风险厌恶的风险厌恶的定义十分清楚。在期望值相同（?E(w+)=E(w)）的不确定性支付和确定性支付之间，一个风险厌恶的参与者总是选择后者。Eg：

2024/10/14《金融经济学》--王江107.2风险厌恶的定义(续)定理7.3:当且仅当u是(严格)凹函数是，参与者是(严格)风险厌恶的。

证明:风险厌恶?凹函数

?w1,w2(w1w2)以及p∈(0,1)，构造如下的伯努利赌博，概率为{p,1?p}，且

很明显E[]=0。定义那么有

w1=w+g1,w2=w+g2

风险厌恶意味着（由定义7.3）

2024/10/14《金融经济学》--王江117.2风险厌恶的定义(续)0w+g2ww+g1U(w+g2)U(w)U(w+g1)pU(w+g1)+(1-p)U(w+g2)

2024/10/14《金融经济学》--王江127.2风险厌恶的定义(续)那么，

因此(据定义7.1)，u是凹函数。凹函数?风险厌恶

因为u是凹函数，由Jensen不等式，我们有

因此，(据定义7.3)易得参与者是风险厌恶的。定理7.3证明了当偏好可以由期望效用表示时，凸性（凹函数）意味着风险厌恶。

2024/10/14《金融经济学》--王江137.3风险厌恶的度量给出了风险厌恶的一般定义以后，我们很自然的考虑到如何量化，也就是说我们能否有一个风险厌恶的度量，可以让我们比较不同参与者或者同一参与者在不同情况下的风险厌恶程度？我们应该很清楚，一切风险的度量都应