2024—2025学年广西桂林市第十八中学高二上学期开学考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年广西桂林市第十八中学高二上学期开学考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知，则（）．

A．

B．

C．

D．

(★)2.在空间直角坐标系中，直线的方向量分别为，则（）

A．

B．

C．与异面

D．与相交

(★)3.设集合，，若，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（）

A．B组打分的极差小于A组打分的极差

B．B组打分的中位数为75

C．A组的意见相对一致

D．A组打分的众数为50

(★★)5.函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)6.设为单位向量，且，则向量夹角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知角满足，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★)9.对于函数，下列选项中正确的有（）

A．在上单调递减

B．的图象关于原点对称

C．的最小正周期为

D．的最大值为2

(★★★)10.已知，且，则下列正确的有（）

A．的最大值是

B．的最小值是

C．的最大值是9

D．的最小值是

(★★★)11.已知函数的定义域为，且，则（）

A．

B．是奇函数

C．

D．

三、填空题

(★)12.在如图所示的长方体中，已知，，则点的坐标为________．

(★★★)13.已知函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是___________.

(★★★★)14.平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是________．

四、解答题

(★★★)15.记的内角的对边分别为，已知．

(1)求；

(2)若为上一点，且，求的面积．

(★★★)16.从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生身高的80%分位数；（保留小数点后一位有效数字）

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求样本空间及事件E的概率．

(★★★)17.如图，四棱锥中，，，，侧面底面ABCD，E为PC的中点．

(1)求证：平面PCD；

(2)若，求二面角的余弦值．

(★★★★)18.已知函数是偶函数.

(1)求的值；

(2)若方程有解，求实数的取值范围；

(3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

(★★★★★)19.英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）．

(1)证明：当时，；

(2)设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．