2024—2025学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期十月月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期十月月考数学试卷

一、单选题

(★★)1.设集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)2.已知是关于的方程的一个根，则（）

A．20

B．22

C．30

D．32

(★★)3.已知，，，则的最小值为（）

A．2

B．

C．

D．4

(★★)4.数列中，若，，，则数列的前项和（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)5.在中，为中点，，，若，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为的中点，点在棱上，若平面，则（）

A．2

B．3

C．4

D．5

(★★★)7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）

A．

B．0

C．1

D．2

二、多选题

(★★★)9.对于函数，下列说法正确的是（）

A．函数的最大值为

B．是函数图象的一个对称中心

C．是函数图象的一个对称轴

D．将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象

(★★★★)10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）

A．若点在线段上，则的最小值为

B．三棱锥的体积为

C．异面直线、所成的角为

D．三棱锥外接球的表面积为

(★★★★)11.已知函数，则下列结论中正确的是（）

A．函数有两个零点

B．恒成立

C．若方程有两个不等实根，则的范围是

D．直线与函数图象有两个交点

三、填空题

(★★)12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.

(★★★)13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.

(★★★★)14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.

四、解答题

(★★★)15.在三棱柱中，，，，，为中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

(★★★)16.已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.

(★★★)17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.

(1)求；

(2)若，为中点，，求；

(3)若，求内切圆半径的取值范围.

(★★★★)18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.

(1)求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；

(2)以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；

(3)为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.

(★★★★)19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.

(1)求四棱锥体积的最大值；

(2)设，为线段上的动点.

①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；

②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.