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2023-2024学年黑龙江省鸡西市第一中学高三下学期五校联盟考试数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设是等差数列的前n项和,且,则()
A. B. C.1 D.2
2.如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是()
A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.
B.与去年同期相比,2017年第一季度的GDP总量实现了增长.
C.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.
3.已知双曲线的实轴长为,离心率为,、分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上运动,若为锐角三角形,则的取值范围是()
A. B. C. D.
4.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
5.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.,且在第一象限,则()
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数是-10,则实数()
A.2 B.1 C.-1 D.-2
7.设为非零实数,且,则()
A. B. C. D.
8.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9.已知定义在上的可导函数满足,若是奇函数,则不等式的解集是()
A. B. C. D.
10.已知,,且是的充分不必要条件,则的取值范围是()
A. B. C. D.
11.函数图象的大致形状是()
A. B.
C. D.
12.已知复数,其中,,是虚数单位,则()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知实数,满足约束条件,则的最大值是__________.
14.已知实数,满足,则的最大值为______.
15.如图,在正四棱柱中,P是侧棱上一点,且.设三棱锥的体积为,正四棱柱的体积为V,则的值为________.
16.已知正方形边长为,空间中的动点满足,,则三棱锥体积的最大值是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在以为顶点的五面体中,底面为菱形,,,,二面角为直二面角.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
18.(12分)随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:
考试情况
男学员
女学员
第1次考科目二人数
1200
800
第1次通过科目二人数
960
600
第1次未通过科目二人数
240
200
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;
(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元,求的分布列与数学期望.
19.(12分)如图,三棱柱中,侧面为菱形,.
(1)求证:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
20.(12分)已知,,分别是三个内角,,的对边,.
(1)求;
(2)若,,求,.
21.(12分)已知函数,.
(1)判断函数在区间上的零点的个数;
(2)记函数在区间上的两个极值点分别为、,求证:.
22.(10分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左顶点为,右焦点为,为椭圆上两点,圆.
(1)若轴,且满足直线与圆相切,求圆的方程;
(2)若圆的半径为,点满足,求直线被圆截得弦长的最大值.
参考答案
一、选
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