小学奥数专题 等积变换、切割、平移、旋转.docx

学科培优数学

等积变换、切割、平移、旋转

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知识定位

本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。

重点难点：

1.等积变换中等地等高三角形的寻找。

2．化未知图形为已知图形。

3.合理做辅助线

4.平移、旋转、切割等知识的适用范围

主要考点：

1.面积和边的比例关系

2.利用平移、旋转解复杂问题

知识梳理

常见图形面积的解题方法

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；

这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论：

等底等高的两个三角形面积相等．

2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。

4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。

例题精讲

【试题来源】

【题目】三个正方形ABCD,BEFG,HKPF如图所示放置在一

起,图中正方形BEFG的周长等于14厘米。求图中

阴影部分的面积。

【答案】12.25(平方厘米)

【解析】

如图,连接KF,EG,BD。设KG,EF相交于O,DE,BG相交于V,由KF∥EG∥BD,

S△KEG=S△FGE,S△DEG=S△BGE。

设阴影阴影的面积为S,则S=S△KGE+S△DEG=S△FGE+S△BGE=SBEFG

正方形BEFG的周长为14厘米,边长为3.5厘米。

所以SBEFG=3.52=12.25(平方厘米)

【知识点】等积变换、切割、平移、旋转

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】在平行四边形ABCD中,AC为对角线,EF平行AC。如果三角形AED的面积为10平方厘米,求三角形CDF的面积。

【答案】10平方厘米

【解析】

既然是求三角形的面积,我们就应该利用“三角形”等底等高面积相等这一知识。

通过连接AF和CE,可以看出,

又因为

?所以

?所以三角形CDF和三角形AED的面积相等,都是10平方厘米。

【知识点】等积变换、切割、平移、旋转

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】如图（1）,ABCD是一长方形纸片,把它的左下角沿虚线EC折叠过去成图（2）,AE恰好是AD的1/4,三角形CDE面积是27,三角形AHE面积是3,三角形BCG面积是16,问三角形DGH（阴影部分）的面积是多少？

【答案】1

【解析】

如图（2）,红色三角形的面积是27,则有27+27+3+16-72=1

【知识点】等积变换、切割、平移、旋转

【适用场合】当堂例题

【难度系数】1

【试题来源】

【题目】右图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10。中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,它们的宽都是2,求草地部分的面积（阴影部分）有多大？

【答案】112

【解析】

如图所示,将道路平移后的（16-2）×（10-2）=112

【知识点】等积变换、切割、平移、旋转

【适用场合】当堂例题

【难度系数】2

【试题来源】

【题目】在正方形中,、、、分别是、、、边的中点(如图),连接线段、、、,由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的____分之______。

【答案】、

【解析】

如左图,通过操作,三角形的面积=正方形的面积同理,其它相应部分的三角形面积都可转化为一个小正方形的面积,也即,大正方形是由五个小正方形组成的。所以,阴影部分的面积为大正方形面积的。

【知识点】等积变换、切割、平移、旋转

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如下图,六边形中,,,,且有平行于,平行,平行