北师版高中数学选修2-2课后习题版 第一章 习题课——数学归纳法的应用.docVIP

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第一章DIYIZHANG推理与证明

习题课——数学归纳法的应用

课后篇巩固提升

A组

1.记凸k边形的内角和为f(k),则f(k+1)-f(k)=()

A.π2 B.π C.3π

答案B

2.下列代数式中能被9整除的是()(其中k∈N+)

A.6+6·7k B.2+7k-1

C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)

解析(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.

由(1)(2)知3(2+7k)能被9整除.

答案D

3.在数列{an}中,a1=13,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an

A.1(n

C.1(2n

解析∵由a1=13,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2

即a1+a2=6a2,∴a2=115

∵S3=3(2×3-1)a3,即13+115+a

∴a3=135

同理可得a4=17×9

据此可猜想an=1(

答案C

4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为()

A.(5k-2k)+4×5k-2k B.5(5k-2k)+3×2k

C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k

解析假设当n=k时,5k-2k能被3整除,当n=k+1时,作如下变形:5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5×5k-5×2k+3×2k=5(5k-2k)+3×2k,就可以应用假设.故选B.

答案B

5.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,则a,b,c的值为()

A.a=12,b=c=14

C.a=0,b=c=14

解析∵等式对一切n∈N+都成立,∴当n=1,2,3时等式成立,将其分别代入等式,得

1=3(a-b)

答案A

6.用数学归纳法证明“当n∈N+时,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为,从k到k+1时需增添的项是.?

解析∵当n=1时,原式应加到25×1-1=24,

∴原式为1+2+22+23+24.

从k到k+1时需添上25k+25k+1+…+25(k+1)-1.

答案1+2+22+23+24

25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4

7.已知f(n)=1+123+133+14

(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;

(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.

解(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,∴f(1)=g(1).

当n=2时,f(2)=98,g(2)=118,

当n=3时,f(3)=251216,g(3)=312216,

(2)由(1),猜想f(n)≤g(n).

下面用数学归纳法给出证明:

①当n=1,2,3时,不等式显然成立.

②假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即1+123+13

∵1

=k+32

∴f(k+1)32

由①②可知,对一切n∈N+,都有f(n)≤g(n)成立.

B组

1.记等式1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=16

A.k+1

B.1·(k+1)+(k+1)·1

C.1+2+3+…+k

D.1+2+3+…+k+(k+1)

解析依题意,f(k)=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则f(k+1)=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1),故选D.

答案D

2.设正项数列{an}满足a1+a2+…+an=Sn,S1·S2·…·Sn=Tn,且Sn+Tn=1,则数列1an前10项的和为

解析S1·S2·…·Sn=Tn=1-Sn.

当n=1时,S1=12,当n=2时,S2=23,当n=3时,S3=

所以猜想可知Sn=nn+1,Tn=1

则S1·S2·…·Sn=Tn=1n+1

用数学归纳法证明:当n=1时,左边=12

假设n=k时,等式成立,即S1·S2·…·Sk=1k+1,则当n=k+1时,左边=S1·S2·…·Sk·Sk+1=1k+1·k+1k+2=1k+2=Tk+1,所以对任意的n∈N*,Sn=nn+1

当n=1时,a1=12符合上式,所以an=1

则1an=n(n+1),所以数列

答案440

3.设n∈N+,f(n)=5n+2×3n-1+1.

(1)当n=1,2,3,4时,计算f(n)的值;