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2023-2024学年湖南省湘潭市一中高三第一次诊断性测试数学试题文试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列:列出“全步”(整数部分)及诸分子分母,以最下面的分母遍乘各分子和“全步”,各自以分母去约其分子,将所得能通分之分数进行通分约简,又用最下面的分母去遍乘诸(未通者)分子和以通之数,逐个照此同样方法,直至全部为整数,例如:及时,如图:
记为每个序列中最后一列数之和,则为()
A.147 B.294 C.882 D.1764
2.函数的大致图象是
A. B. C. D.
3.若函数在时取得最小值,则()
A. B. C. D.
4.已知函数,若,则等于()
A.-3 B.-1 C.3 D.0
5.抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是()
A. B. C. D.
6.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么()
A. B. C. D.
7.已知直线,,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.若的二项展开式中的系数是40,则正整数的值为()
A.4 B.5 C.6 D.7
9.正项等差数列的前和为,已知,则=()
A.35 B.36 C.45 D.54
10.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为()
A. B.
C. D.
11.设全集为R,集合,,则
A. B. C. D.
12.函数(或)的图象大致是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量,,若,则实数______.
14.的展开式中,的系数是__________.(用数字填写答案)
15.如图在三棱柱中,,,,点为线段上一动点,则的最小值为________.
16.如图,的外接圆半径为,为边上一点,且,,则的面积为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列是等差数列,前项和为,且,.
(1)求.
(2)设,求数列的前项和.
18.(12分)已知数列满足,且,,成等比数列.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记数列的前n项和为,,求数列的前n项和.
19.(12分)在本题中,我们把具体如下性质的函数叫做区间上的闭函数:①的定义域和值域都是;②在上是增函数或者减函数.
(1)若在区间上是闭函数,求常数的值;
(2)找出所有形如的函数(都是常数),使其在区间上是闭函数.
20.(12分)已知椭圆:(),四点,,,中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点,求的正切的最大值.
21.(12分)等差数列的前项和为,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列{}的前项和为,求使成立的的最小值.
22.(10分)从抛物线C:()外一点作该抛物线的两条切线PA、PB(切点分别为A、B),分别与x轴相交于C、D,若AB与y轴相交于点Q,点在抛物线C上,且(F为抛物线的焦点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)①求证:四边形是平行四边形.
②四边形能否为矩形?若能,求出点Q的坐标;若不能,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据题目所给的步骤进行计算,由此求得的值.
【详解】
依题意列表如下:
上列乘
上列乘
上列乘
6
30
60
3
15
30
2
10
20
15
6
12
1
5
10
所以.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查合情推理,考查中国古代数学文化,属于基础题.
2、A
【解析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.
【详解】
由题意可知函数为奇函数,可排除B选项;
当时,,可排除D选项;
当时,,当时,,
即,可排除C选项,
故选:A
【点睛】
本题考查了函数图象的判断,函数对称性的应用,属于中档题.
3、D
【解析】
利用辅助角公式化简的解析式,再根据正弦函数的最值,求得在函数取得最小值时的值.
【详解
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