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2023-2024学年湖南省长沙市高三下北师大版数学试题期末考试试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.执行下面的程序框图,如果输入,,则计算机输出的数是()
A. B. C. D.
2.已知函数,若,则的最小值为()
参考数据:
A. B. C. D.
3.函数的部分图象大致为()
A. B.
C. D.
4.设集合,,若,则()
A. B. C. D.
5.函数在上的大致图象是()
A. B.
C. D.
6.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()
A. B. C. D.
7.函数图像可能是()
A. B. C. D.
8.已知数列an满足:an=2,n≤5a1
A.16 B.17 C.18 D.19
9.已知实数集,集合,集合,则()
A. B. C. D.
10.如图,在中,点是的中点,过点的直线分别交直线,于不同的两点,若,,则()
A.1 B. C.2 D.3
11.已知,则()
A. B. C. D.
12.已知函数,,若成立,则的最小值是()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用表示两名老师之间的学生人数,则对应的排法有______种;______;
14.记复数z=a+bi(i为虚数单位)的共轭复数为,已知z=2+i,则_____.
15.直线与抛物线交于两点,若,则弦的中点到直线的距离等于________.
16.正方体中,是棱的中点,是侧面上的动点,且平面,记与的轨迹构成的平面为.
①,使得;
②直线与直线所成角的正切值的取值范围是;
③与平面所成锐二面角的正切值为;
④正方体的各个侧面中,与所成的锐二面角相等的侧面共四个.
其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若射线与和分别交于点,求.
18.(12分)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若正数、满足,求证:.
19.(12分)已知椭圆的右顶点为,点在轴上,线段与椭圆的交点在第一象限,过点的直线与椭圆相切,且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.
(Ⅰ)当为线段的中点时,求直线的方程;
(Ⅱ)记的面积为,的面积为,求的最小值.
20.(12分)已知函数,
(1)证明:在区间单调递减;
(2)证明:对任意的有.
21.(12分)已知函数,.
(1)求证:在区间上有且仅有一个零点,且;
(2)若当时,不等式恒成立,求证:.
22.(10分)如图,平面四边形为直角梯形,,,,将绕着翻折到.
(1)为上一点,且,当平面时,求实数的值;
(2)当平面与平面所成的锐二面角大小为时,求与平面所成角的正弦.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数,再利用辗转相除法计算即可.
【详解】
本程序框图的功能是计算,中的最大公约数,所以,
,,故当输入,,则计算机输出的数
是57.
故选:B.
【点睛】
本题考查程序框图的功能,做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么,本题是一道基础题.
2、A
【解析】
首先的单调性,由此判断出,由求得的关系式.利用导数求得的最小值,由此求得的最小值.
【详解】
由于函数,所以在上递减,在上递增.由于,,令,解得,所以,且,化简得,所以,构造函数,.构造函数,,所以在区间上递减,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在区间上递增,在区间上递减.而,所以在区间上的最小值为,也即的最小值为,所以的最小值为.
故选:A
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查分段函数的图像与性质,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.
3、B
【解析】
图像分析采用排除法,利用奇偶性判断函数为奇函数,再利用特值确定函数的正
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