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《空间向量基本定理》题型突破

重难点突破

1.对于空间向量基本定理的理解,应注意:

(1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

(2)基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量,与任意两个非零向量都共面,所以三个向量构成空间的一个基底隐含着三个向量一定为非零向量.

(3)一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量.

2.用基底表示空间向量,一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则,及向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法的三角形法则,逐步向基向量过渡,直到全部用基向量表示.

典型例题剖析

题型1用基底表示其他向量

例1如图所示,四棱锥P-OABC的底面为一个矩形,PO?平面OABC,设OA=a,OC=b,OP=c,E,F

解析:结合已知和所求,观察图形,联想相关的运算法则和公式等,再对照目标及基底,将所求向量反复分拆,直到全部可以用基向量表示为止.

答案:如图,连接BO,则BF=

BE

-

AE

c

EF

变式训练1已知正方体ABCD-ABCD,点E是AC的中点,点F是AE的三等分点,且AF=12EF,

A.AA

B.1

C.1

D.1

答案:D

点拨:如图,由AF=12EF知

所以AE=AF+EF=3AF,

所以AF

=

=

题型2空间向量基本定理的应用

例2在三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都相等,∠BAA1

解析:取AA1,AB,AC为一组基向量,

A

BC

而AB

所以cosA

答案:66

变式训练2如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形

(1)试用向量AB,AD,

(2)用向量方法证明平面EFG//平面AB

答案:

(1)设AB=

由题图得AG

=

=

(2)由题图得AC

,EG

因为EG与AC无公共点,

所以EG//AC,

因为EG?平面AB1C,AC?平面AB1C,

因为A

,FG

又因为FG与AB1无公共点,所以FG//AB1,因为FG?平面AB1C,AB1

又因为FG∩EG=G,FG,EG?平面EFG,所以平面EFG//平面AB

规律方法总结

利用空间向量基本定理可以求夹角、长度(距离)问题,证明平行、垂直问题.

(1)求夹角:设向量a,b所成的角为θ,则cosθ=

(2)求长度(距离):运用公式|a|2

(3)证明平行、垂直:利用适当的基向量表示相关向量,可将平行问题转化为向量的共线问题;利用a?b?