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第2章圆锥曲线(单元重点综合测试)
一、填空题
1.已知圆的方程为,则圆的半径为.
2.若双曲线经过点,则此双曲线的渐近线夹角的为.
3.在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离为.
4.已知圆与圆内切,则.
5.曲线的焦点坐标为.
6.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,则.
7.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,,P为C的准线上一点,则的面积为.
8.已知直线和曲线有公共点,则的取值范围是.
9.设为双曲线:左、右焦点,且的离心率为,若点M在的左支上,直线与的左支相交于另一点N,且,则.
10.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,是与的一个公共点,则的面积为.
11.M为抛物线上任意一点,F是抛物线的焦点,E是抛物线的准线与x轴的交点,点P为线段OM的中点,则的取值范围是.
12.已知点F是椭圆的右焦点,点到椭圆上的动点Q的距离的最大值不超过,当椭圆的离心率取到最大值时,则的最大值等于.
二、单选题
13.抛物线的准线方程为(????)
A. B. C. D.
14.若直线与圆所截得的弦长为,则实数为(????).
A.或 B.1或3 C.3或6 D.0或4
15.若椭圆和双曲线有相同的焦点和,而是这两条曲线的一个交点,则的值是(????)
A. B. C. D.
16.在平面直角坐标系中,对于定点,记点集中距离原点O最近的点为点,此最近距离为.当点P在曲线上运动时,关于下列结论:①点的轨迹是一个圆;②的取值范围是.正确的判断是(????)
A.①成立,②成立 B.①成立,②不成立
C.①不成立,②成立 D.①不成立,②不成立
三、解答题
17.已知直线:和圆:.
(1)求与直线垂直且经过圆心的直线的一般方程;
(2)求与直线平行且与圆相切的直线的一般方程.
18.已知点在双曲线上,且双曲线的一条渐近线的方程是.
(1)求双曲线的方程;
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点,求实数的值.
19.如图1,太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备,上面装有抛物面形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分(如图2),盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处,该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑(图中F点为放置容器处,其余6个焊点在镜口圆上).已知镜口圆的直径为,镜深.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程及焦点的坐标;
(2)若把盛水或食物的容器近似地看作点,试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度(单位).
20.已知定点,,动点M满足.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设,过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点.
(i)过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点,求四边形EGFH面积的最大值;
(ii)设曲线C与x轴交于P、Q两点,直线PE与直线QF相交于点N,试讨论点N是否在定直线上,若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.
21.已知双曲线H:的左、右焦点为,,左、右顶点为,,椭圆E以,为焦点,以为长轴.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)设椭圆E交y轴于,,过的直线l交双曲线H的左、右两支于C,D两点,求面积的最小值;
(3)设点满足.过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P,Q.过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S,T.证明:为定值,并求出此定值.
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