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北师大版九年级数学下册教案

理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会娴熟

应用公式法解一元二次方程.

复习详细数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入

ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.

重点

求根公式的推导和公式法的应用.

难点

一元二次方程求根公式的推导.

一、复习引入

1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比方，方程

(1)x2=4(2)(x-2)2=7

提问1这种解法的(理论)依据是什么?

提问2这种解法的局限性是什么?(只对那种“平方式等于非负数”

的特别二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程.)

2.面对这种局限性，怎么办?(使用配方法，把一般形式的二次方程配

方成能够“直接开平方”的形式.)

(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x

(教师点评)略

总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，教师点评).

(1)先将已知方程化为一般形式;

(2)化二次项系数为1;

(3)常数项移到右边;

(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全

平方式;

(5)变形为(x+p)2=q的形式，假如q≥0，方程的根是x=-p±q;假如

q0，方程无实根.

二、探究新知

用配方法解方程：

(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

假如这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用上

面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.

问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a，

x2=-b-b2-4ac2a(这个方程肯定有解吗?什么状况下有解?)

分析：由于前面详细数字已做得许多，我们现在不妨把a，b，c也当

成一个详细数字，依据上面的解题步骤就可以始终推下去.

解：移项，得：ax2+bx=-c

二次项系数化为1，得x2+bax=-ca

配方，得：x2+bax+(b2a)2=-ca+(b2a)2

即(x+b2a)2=b2-4ac4a2

∵4a20，当b2-4ac≥0时，b2-4ac4a2≥0

∴(x+b2a)2=(b2-4ac2a)2

直接开平方，得：x+b2a=±b2-4ac2a

即x=-b±b2-4ac2a

∴x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a，b，

c而定，因此：

(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当

b2-4ac≥0时，将a，b，c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根.

(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

例1用公式法解以下方程：

(1)2x2-x-1=0(2)x2+1.5=-3x

(3)x2-2x+12=0(4)4x2-3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代

入公式即可.

补：(5)(x-2)(3x-5)=0

三、稳固练习

教材第12页练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6).

四、课堂小结

本节课应把握：

(1)求根公式的概念及其推导过程;

(2)公式法的概念;

(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形

式，留意移项要变号，尽量让a0;2)找出系数a，b，c，留意各项的系数

包括符号;3)计算b2-