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角的平分线的性质及判定

一.教学内容：

1.角平分线的作法．

2.角平分线的性质及判定．

3.角平分线的性质及判定的应用．

二.知识要点：

1.角平分线的作法（尺规作图）

①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；

②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；

③过点P作射线OP，射线OP即为所求．

2.角平分线的性质及判定

（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

①推导

已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，

垂足分别为点A、点B．

求证：PA＝PB．

证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∵OC平分∠MON

∴∠1＝∠2

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO

∴PA＝PB

②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）

如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，

∴PA＝PB．

（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

①推导

已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．

求证：点P在∠MON的平分线上．

证明：连结OP

在Rt△PAO和Rt△PBO中，

∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）

∴∠1＝∠2

∴OP平分∠MON

即点P在∠MON的平分线上．

②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）

如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

3.角平分线性质及判定的应用

①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；

②实际生活中的应用．

解：AP平分∠BAC．

结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．

理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．

∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，

∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．

同理PF＝PE，∴PD＝PF．

∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．

例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．

（1）学校距铁路的距离是多少？

（2）请写出学校所在位置的坐标．

分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号．

解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上，

∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，

又∵点P到公路的距离是400m，

∴点P（学校）到铁路的距离是400m．

（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．

评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．

例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．

分析：由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．

解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，

∴DC＝DE．

在Rt△ACD和Rt△AED中，，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．

∴AC＝AE．

又∵AC＝BC，∴AE＝BC．

∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．

??????评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．

【方法总结】

学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．

【模拟试题】（答题时间：90分钟）

一.选择题

1.如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（??）

A.PC＞PD???B.PC＝PD?????C.PC＜PD???D.不能确定

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，A