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二次函数压轴题专题

1．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；

（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．

（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；

2

（2）记直线AB的解析式为y=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y=ax+bx+c，求当y＜y时，自变量x的取值范围；

1212

（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，

△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．

2

3．如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物

2

线的解析式；（2）将抛物线y=x+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若

新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．

参考答案

1．2

解：（1）设函数解析式为：y=ax+bx+c，

由函数经过点A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），

可得，

解得：，

故经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；

（2）设直线BC的函数解析式为y=kx+b，

由题意得：，

解得：，

即直线BC的解析式为y=﹣2x+2．

故可得点E的坐标为（0，2），

从而可得：AE==2，CE==2，

故可得出AE=CE；

（3）相似．理由如下：

设直线AD的解析式为y=kx+b，

则，

解得：，

即直线AD的解析式为y=x+4．

联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，

解得：，

即点F的坐标为（﹣，），

则BF==，AF==，

又∵AB=5，BC==3，

∴=，=，

∴=，

又∵∠ABF=∠CBA，

∴△ABF∽△CBA．

故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．

2解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；

Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；

OA=AD﹣OD=2，即：

A（﹣2，0）、B（﹣5，4）、C