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【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学（人教A版2019）常考题专练
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专题2-3直线与圆的16类最值问题全归纳
【题型1】点到含参直线距离最值
点到直线距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
【巩固练习】已知直线l方程为，那m为时，点到直线l的距离最大，最大值为
【题型2】过定点的弦长最短
已知直线和圆交于两点，则的最小值为（????）
A．2 B． C．4 D．
【巩固练习1】过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是．
【巩固练习2】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度最小值为.
【题型3】通过点与圆的位置关系求参数范围
若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.
A． B． C． D．
【巩固练习1】若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【巩固练习2】若点在圆外，则实数的取值范围为.
【巩固练习3】过点可以向圆引两条切线，则的范围.
【题型4】点圆型最值问题
若实数满足，则的最大值是．
【巩固练习1】若点在圆上，则的最小值为.
【巩固练习2】若点是圆:上一点,则的最小值为（????）
A．2 B．4 C．6 D．8
【题型5】斜率型最值问题
形如的最值问题，可转化为点与定点的动直线斜率的最值问题
已知实数，满足方程，求的最大值和最小值
（24-25高二上·江西上饶·开学考试）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（????）
A．B． C． D．
若点在曲线：上运动，则的最大值为.
【巩固练习1】（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（????）
A．B．C． D．
【巩固练习2】如果实数，满足，则的范围是（????）
A． B． C． D．
【题型6】圆上的点到直线的距离为定值的个数（教材原题改编）
教材原题改编：选择性必修第一册第99页
已知点在圆上，点，．求点到直线距离的最大值
（多选）在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为，则实数的取值可能是（????）
A． B． C． D．
若圆上有且仅有两个点到直线的距离为5，则的取值范围是.
【巩固练习1】（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（????）
A．6 B． C． D．
【巩固练习2】已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为.
【巩固练习3】在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为．
【题型7】与基本不等式结合求最值
基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积）
常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和）
10.若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最大值为______.
设直线的方程为，若与轴正半轴的交点为，与轴负半轴的交点为，求为坐标原点）面积的最小值．
（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为，此时直线方程为．
（2024·安徽·模拟预测）已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（????）
A． B． C． D．
（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（????）
A． B． C． D．
【巩固练习1】过点的动直线和过点的动直线交于点（点异于、，且，则的最大值是
A． B．5 C． D．
【巩固练习2】过点的直线，求与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程.
【巩固练习3】（23-24高二上·江苏无锡·期中）若圆被直线平分，则的最小值为（????）
A． B．9 C．4 D．
【题型11】过定点的弦与圆心所围成的三角形面积最值
当圆心角为90°时，面积有最大值，此时圆心到直线的距离为，注意验证圆心到直线的距离是否可以取
已知直线与圆交于两点M，N，当面积最大时，斜率k值为（????）
A． B． C． D．
已知圆关于直线对称，且在圆上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.
【巩固练习1】已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（????）
A． B． C． D．
【巩固练习
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