人教A版高中数学（选择性必修第二册）同步培优讲义专题4.6 数学归纳法（重难点题型精讲）（原卷版）.docVIP

第

第PAGE1页共NUMPAGES29页

专题4.6数学归纳法（重难点题型精讲）

1．归纳法

由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想

的一种方法.

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.

2．数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值SKIPIF10(SKIPIF10SKIPIF10)时命题成立；

第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥SKIPIF10,kSKIPIF10)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从SKIPIF10开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法称为数学归纳法.

3．数学归纳法的重要结论及适用范围

【题型1数学归纳法的证明步骤】

【方法点拨】

结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可.

【例1】已知n为正偶数，用数学归纳法证明1?12+13?1

A．n=k+1时不等式成立 B．n=k+2时不等式成立

C．n=2k+2时不等式成立 D．n=2k+2

【变式1-1】用数学归纳法证明1+a+a2+?+

A．1=1?a31?a B．1+a=1?a

【变式1-2】用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)???(n+n)=2n?1?3???(2n?1)n∈N?，从k

A．2k+1 B．2

C．2k+1k+1 D．

【变式1-3】在用数学归纳法求证：n+1n+2?n+n=2n?1?3?

A．2k+2 B．2k+1

C．2k+22k+1 D．

【题型2用数学归纳法证明恒等式】

【方法点拨】

数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命

题为P(n)：f(n)=g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题.

【例2】用数学归纳法证明：1×2+2×5+???+n3n?1=n2n+1

【变式2-1】用数学归纳法证明：12+1+

【变式2-2】用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).

【变式2-3】用数学归纳法证明：1×22+2×

【题型3用数学归纳法证明不等式】

【方法点拨】

1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行

证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻

求变量的取值范围.

2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式，由过渡式到目标式的证

明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等.

【例3】用数学归纳法证明1+12+13+…+12n≤12+n(

【变式3-1】求证：(1+1

【变式3-2】证明不等式1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈

【变式3-3】证明：不等式1+1

【题型4用数学归纳法证明几何问题】

【方法点拨】

用数学归纳法证明几何问题，关键是找出从n=k到n=k+1时图形的变化.

【例4】求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是f(n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*

【变式4-1】平面内有n(n≥2)条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数f(n)=n(n?1)

【变式4-2】平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2

【变式4-3】在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．

（1）求ak的表达式；

（2）利用数学归纳法证明12+22

【题型5用数学归纳法证明整除问题】

【方法点拨】

用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及含有除数的式子的形式.

【例5】证明：当n∈N?时，

【变式5-1】先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：n3

【变式5-2】证明：n3

【变式5-3】用数学归纳法证明：n3+n+13+

【题型6用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】

【方法点拨】

在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然

后利用数