1.1 空间向量及其运算（解析版）.docx

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第一章空间向量与立体几何

1.1空间向量及其运算

题型一.空间向量及其运算

考点1.空间向量的概念

1．下列说法中正确的是（）

A．若|a→|=|b

B．若向量a→是向量b→的相反向量，则

C．若a→∥b→，则存在唯一的实数

D．在四边形ABCD中，一定有AB

【解答】解：若|a→|=|b→

若向量a→是向量b→的相反向量，则|a

若a→≠0→，

当四边形ABCD是平行四边形时，AB→+AD

故选：B．

2．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量a→、b→满足|a→|＝|b→|，则a→=b→；③在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有AC→=A1C1→；④

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，

它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；

②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，

不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同；

③真命题.AC→与A

④真命题．向量的相等满足递推规律；

⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．

故选：C．

考点2.空间向量的线性运算

3．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→=a→，A1D1→=

【解答】解：由在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，

∴M是AC，BD的中点，∴DM→=1

D1

故答案为：12

4．在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB→

A．AB→ B．2BD→ C．0→ D

【解答】解：设BC的中点为F，由于△BCD是正三角形，且E为其中心，

故AB→

故选：C．

5．如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为AC的中点．

（1）化简：A1

（2）设E是棱DD1上的点，且DE→=23DD1→，若

【解答】解：（1）A

（2）EO→

∴x=12、y=-

考点3.空间向量的数量积

6．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则FG→

A．34 B．14 C．12

【解答】解：FG→

FG→

另解：FG→?AB

故选：B．

7．平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量AB→、AD→、AA1→两两的夹角均为60°，且|AB→|＝1，|AD→|＝2，|AA1→|＝

【解答】解：由平行六面体ABCDA1B1C1D1可得：AC

∴AC1→2=AB→2+AD→2+

∴|AC

故答案为：5．

8．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，且（a→+b→

A．30° B．60° C．120° D．150°

【解答】解：由已知条件得(a

∴cos＜

∴向量a→与b→的夹角为

故选：C．

9．如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若AB→?AE→+AC→?AF→

【解答】解：由题意得：BC→2=9＝（AC→-AB→）2=

∴AC→?

∵AB→?

∴AB→?(AB→

=AB→2+AB→?BE

∴EF→?BC→=2

∴EF→与BC→的夹角的余弦值为cos

故答案为：16

10．已知在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝1且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1=

（1）求B1D的长

（2）求CD1→

【解答】解：（1）∵AB＝2，AA1＝3，AD＝1且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1=π

∴AB→?AD→=2×1×cosπ3=1，AB→

∵DB

∴DB1→2=AD→2+AB→2+AA1

∴B1D=15

（2）∵CD1→2＝（BA1→）2＝（AA1→-AB

∴|CD1→

又CD1→?B1D→=（AA1→-

∴CD1→与B

题型二.空间向量基本定理

考点1.共线向量基本定理

1．设e1→、e2→是两个不共线的向量，已知向量AB→=me1→+2e2→，CB→=-2e

A．-32 B．﹣6 C．2 D

【解答】解：∵CB→=-2e1→-e2→，

若A、B、D三点共线，则有AB→

me1→+2e

∴m=3λ2=-λ，即m＝﹣6

故选：B．

考点2.共面向量定理

2．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OD→=mOA→+nOB→+pOC→(m，n，p∈R)，则“A，B，

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：若A，B，C，D四点共面，则需m+n+p＝1，

“A，B，C，D四点共面”不能推出“m